원에 내접하는 등비수열 사각형

네 변 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{DA}}$의 길이를 $a$, $\displaystyle \sqrt{2} a$, $2 a$, $\displaystyle 2 \sqrt{2} a$이라 하자. 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 원에 내접하므로 사각형의 내각 중 마주보는 각의 합은 $\pi$이다. 따라서 $\angle \mathrm{ABC} + \angle ADC = \pi$이므로 $\mathrm{\angle} ABC = \pi - \theta$ $\triangle$$\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙을 이용하면 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2} - 2 \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cos ( \pi - \theta )$ $\displaystyle = a ^{2} + 2 a ^{2} + 2 \sqrt{2} a ^{2} \cos \theta$ ……㉠ $\triangle$$\mathrm{ADC}$에서 코사인법칙을 이용하면 $\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}}} ^{2}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{\mathrm{CD}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DA}}} ^{2} - 2 \overline{CD} \cdot \overline{DA} \cos \theta$ $\displaystyle = 4 a ^{2} + 8 a ^{2} - 8 \sqrt{2} a ^{2} \cos \theta$ ……㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 10 \sqrt{2} \cos \theta = 9$ $\displaystyle \therefore \cos \theta = \frac{9 \sqrt{2}}{20}$