원에 내접 사각형 넓이

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 넓이 구하는 문제를 해결한다. $\mathrm{\angle} BAD$와 $\mathrm{\angle} BCD$는 같은 호에 대한 원주각이므로 그 크기가 같다. $\mathrm{\angle} BAD = \angle BCD = \theta$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CB}} = \mathit{b}$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이 $S _{1}$은 $S _{1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times \sin \theta$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 6 \times a \times \sin \theta$$= 3 a \sin \theta$ 삼각형 $\mathrm{CBD}$의 넓이 $S _{2}$는 $S _{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{CB}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}} \times \sin \theta$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times b \times 4 \times \sin \theta$$= 2 b \sin \theta$ $S _{1} : S _{2} = 9 : 5$이므로 $3 a : 2 b = 9 : 5$ $a : b = 6 : 5$이므로 $a = 6 k$, $b = 5 k$($k > 0$)라고 하자. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2}$$= 6 ^{2} + \left( 5 k \right) ^{2} - 2 \times 6 \times 5 k \times \cos \alpha$ …… ㉠ $\mathrm{\angle} ABC$와 $\mathrm{\angle} ADC$는 같은 호에 대한 원주각이므로 $\mathrm{\angle} ABC = \angle ADC = \alpha$ 삼각형 $\mathrm{ADC}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} C}} ^{2}$$= \left( 6 k \right) ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 6 k \times 4 \times \cos \alpha$ …… ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $11 k ^{2} + 9 k - 20 = 0$, $( 11 k + 20 ) ( k - 1 ) = 0$ $k > 0$이므로 $k = 1$이고 $a$$= 6 k$$= 6$ $\sin \alpha$$\displaystyle = \sqrt{1 - \cos ^{2} \alpha}$$\displaystyle = \sqrt{1 - \left( \frac{3}{4} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{7}}{4}$ 삼각형 $\mathrm{ADC}$의 넓이 $S$는 $S$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AD}}} \times {\overline{\mathrm{CD}}} \times \sin \alpha$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}$$\displaystyle = 3 \sqrt{7}$ 따라서 $S ^{2}$$\displaystyle = ( 3 \sqrt{7} ) ^{2}$$= 63$