원 위의 점과 사각형 넓이

두 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( a , b \right)}$, ${\mathrm{B}} \mathit{\left( b , a \right)}$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이고 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AP}}} = \overline{{\mathrm{BP}}}$, $\displaystyle \overline{{\mathrm{AQ}}} = \overline{{\mathrm{BQ}}}$를 만족시키는 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$는 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선 위의 점이다. 이때, 선분 $\mathrm{AB}$의 수직이등분선은 직선 $y = x$이므로 두 점 ${\mathrm{P}}$, ${\mathrm{Q}}$는 원 $C$와 직선 $y = x$가 만나는 점이다. 선분 $\mathrm{PQ}$는 원 $C$의 지름이므로 $\displaystyle \overline{{\mathrm{PQ}}} = 4$ 선분 $\mathrm{AB}$와 직선 $y = x$가 만나는 점을 $\mathrm{H}$라 하자. 사각형 $\mathrm{APBQ}$는 넓이가 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이고 사각형 $\mathrm{APBQ}$의 넓이는 두 삼각형 ${\mathrm{APQ}}$, ${\mathrm{BQP}}$의 넓이의 합과 같으므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times \overline{{\mathrm{AH}}} + \frac{1}{2} \times 4 \times \overline{{\mathrm{BH}}}$$\displaystyle = 2 \left( \overline{{\mathrm{AH}}} + \overline{{\mathrm{BH}}} \right)$ $\displaystyle = 2 \overline{{\mathrm{AB}}} = 2 \sqrt{2}$ 에서 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = \sqrt{2}$ 또한 $\displaystyle \overline{{\mathrm{AB}}} = \sqrt{\left( b - a \right) ^{2} + \left( a - b \right) ^{2}} = \sqrt{2 \left( a - b \right) ^{2}}$ 이므로 $\displaystyle \sqrt{2 \left( a - b \right) ^{2}} = \sqrt{2}$에서 $\left| a - b \right| = 1$ 양변을 제곱하면 $a ^{2} - 2 a b + b ^{2} = 1$ 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( a , b \right)}$가 원 $C$ 위의 점이므로 $a ^{2} + b ^{2} = 4$ 따라서 두 식을 연립하여 계산하면 $\displaystyle a \times b = \frac{3}{2}$