원 위의 점과 거리의 제곱의 합의 최댓값

선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AB}} = 6$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 에서 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2}$ 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 72$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}$ 이 최대일 때 이 값도 최대가 된다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로 직각삼각형 $\mathrm{OAM}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OM}} = \sqrt{10 ^{2} - 6 ^{2}} = 8$ 점 $\mathrm{P}$ 는 중심이 $\mathrm{O}$ 이고 반지름의 길이가 $10$ 인 원 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}}$ 의 최댓값은 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{OM}} = 10 + 8 = 18$ 따라서 구하는 최댓값은 $2 \times 18 ^{2} + 72 = 648 + 72 = 720$