원 위의 벡터 내적

선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하고 원 위의 점 $\mathrm{P}$를 점 $\mathrm{O}$에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{R}$이라 하면 $\mathrm{\vec{PA}} + \vec{PB} = \mathrm{2} \vec{PO} = \mathrm{\vec{PR}}$

이때 선분 $\mathrm{PR}$은 원의 지름이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = 10 \sqrt{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\mathrm{\vec{PR}} \bullet \vec{PQ} = \left| \vec{PQ} \right| ^{2}$, $\mathrm{\vec{PR}} \bullet \vec{PB} = \left| \vec{PB} \right| ^{2}$ 이 성립한다. 따라서 $\mathrm{\left( \vec{PA} + \vec{PB} \right)} \bullet \left( \vec{PQ} + \vec{PB} \right) = \mathrm{2} \left| \vec{PQ} \right| ^{2}$에서 $\mathrm{\vec{PR}} \bullet \left( \vec{PQ} + \vec{PB} \right)$$= \mathrm{\vec{PR}} \bullet \vec{PQ} + \vec{PR} \bullet \vec{PB}$ $\mathrm{=} \left| \vec{PQ} \right| ^{2} + \left| \vec{PB} \right| ^{2}$ 이 값이 $\mathrm{2} \left| \vec{PB} \right| ^{2}$과 같으므로 $\mathrm{\left| \vec{PB} \right|} ^{2} = \mathrm{\left| \vec{PQ} \right|} ^{2}$, $\mathrm{\left| \vec{PB} \right|} = \mathrm{\left| \vec{PQ} \right|}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 한편 삼각형 $\mathrm{ABP}$는 $\mathrm{\angle} APB = 90 ^\circ$인 직각삼각형이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 10 \sqrt{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PB}} = 14$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{AB}} ^{2} - {\overline{PB}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{200 - 196}$$= 2$ 또한 $\mathrm{\left| \vec{QB} \right|} > 0$이므로 ㉡에 의하여 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{PR}$에 대하여 점 $\mathrm{B}$를 대칭이동한 점이된다. $\therefore$ $\mathrm{\left| \vec{PB} \right|} = \mathrm{\left| \vec{PQ} \right|}$ 점 $\mathrm{P}$의 점 $\mathrm{O}$에 대한 대칭점이 $\mathrm{R}$이고, 점 $\mathrm{A}$의 점 $\mathrm{O}$에 대한 대칭점이 점 $\mathrm{B}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} = \mathrm{\overline{BR}} = \mathrm{\overline{QR}} = 2$ 선분 $\mathrm{PR}$과 선분 $\mathrm{BQ}$의 교점을 $\mathrm{S}$라 하면 두 선분은 점 $\mathrm{S}$에서 수직으로 만난다.

직각삼각형 $\mathrm{PRQ}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} \times \overline{QR} = \mathrm{\overline{PR}} \times \overline{QS}$이고 ㉠에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = 10 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle 14 \times 2 = 10 \sqrt{2} \times \mathrm{\overline{QS}}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QS}} = \frac{7 \sqrt{2}}{5}$ 한편 $\mathrm{\vec{PA}} = \mathrm{\vec{BR}}$이고, $\mathrm{\vec{BQ}} = \mathrm{2} \vec{BS}$이므로 $\mathrm{\left| \vec{PA} \bullet \vec{QB} \right|}$$= \mathrm{\left| \vec{BR} \bullet \vec{BQ} \right|}$ $= \mathrm{\left| \vec{BR} \bullet 2 \vec{BS} \right|}$ $= \mathrm{2} \left| \vec{BS} \right| ^{2}$ ($\because$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BS}} \perp \overline{RS}$) $\cdots$$\cdots$ ㉢ 이때 $\displaystyle \mathrm{\overline{BS}} = \mathrm{\overline{QS}} = \frac{7 \sqrt{2}}{5}$이므로 $\mathrm{\left| \vec{PA} \bullet \vec{QB} \right|}$$= \mathrm{2} \left| \vec{BS} \right| ^{2}$$\displaystyle = 2 \times \left( \frac{7 \sqrt{2}}{5} \right) ^{2}$$\displaystyle = \frac{196}{25}$ 따라서 $p = 25$, $q = 196$이므로 $p + q = 221$