원 위의 벡터

[출제의도] 내적을 이용하여 두 벡터의 수직, 벡터의 크기 등을 구할 수 있는가? 조건 (가)에서 $\mathrm{\vec{AC}} \cdot \vec{BC} = 0$ 이므로 두 벡터 $\mathrm{\vec{AC}} , \vec{BC}$ 는 수직이다. 그러므로 선분 $\mathrm{AB}$는 원의 지름이다. 이때, $\left| \mathrm{\vec{AB}} \right| = 8$ 이므로 이 원은 지름의 길이가 $8$인 원이다. 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 조건 (나)에서 $\mathrm{\vec{AD}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} {\vec{AB}} - 2 {\vec{BC}}$$= \mathrm{\vec{AO}} + 2 \vec{CB}$ 이때, $\mathrm{\vec{AD}} = \vec{AO} + \vec{OD}$이므로 $\mathrm{\vec{OD}} = 2 \vec{CB}$ 이때, 점 $\mathrm{D}$는 원 위의 점이므로 $\left| \mathrm{\vec{OD}} \right| = 4$에서 $2$$\left| \mathrm{\vec{CB}} \right| = 4$, $\left| \mathrm{\vec{CB}} \right| = 2$ 또, 두 벡터 $\mathrm{\vec{CB}} , \vec{OD}$는 평행하다.

이때, $\angle \mathrm{ABC} = \mathit{\theta}$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ 한편, 두 벡터 $\mathrm{\vec{OD}} , \vec{CB}$는 평행하므로 $\angle \mathrm{AOD} = \pi - \theta$ 따라서, $\left| \mathrm{\vec{AD}} \right| ^{2}$$= \left| \mathrm{\vec{OD}} - \vec{OA} \right| ^{2}$ $= \left( \mathrm{\vec{OD}} - \vec{OA} \right) \cdot \left( \mathrm{\vec{OD}} - \vec{OA} \right)$ $= \left| \mathrm{\vec{OD}} \right| ^{2} + \left| \mathrm{\vec{OA}} \right| ^{2} - 2 \vec{OD} \cdot \vec{OA}$ $= \left| \mathrm{\vec{OD}} \right| ^{2} + \left| \mathrm{\vec{OA}} \right| ^{2} - 2 \left| \vec{OD} \right| \left| \vec{OA} \right| \cos ( \pi - \theta )$ $= \left| \mathrm{\vec{OD}} \right| ^{2} + \left| \mathrm{\vec{OA}} \right| ^{2} + 2 \left| {\vec{OD}} \right| \left| {\vec{OA}} \right| \cos \theta$ $\displaystyle = 4 ^{2} + 4 ^{2} + 2 \times 4 \times 4 \times \frac{1}{4}$ $= 40$