대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위를 도는 점의 수열

문제

음이 아닌 정수 nn에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점의 좌표를 Pn(an,bn)\mathrm{P} _{n} ( a _{n} , b _{n} )이라 하자.

(ㄱ) a0=1a _{0} = 1, b0=0b _{0} = 0 (ㄴ) 점 Pn+1(an+1,bn+1)\mathrm{P} _{n+1} ( a _{n+1} , b _{n+1} )은 점 Pn(an,bn)\mathrm{P} _{n} ( a _{n} , b _{n} )에서 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1의 호를 따라 시계 반대 방향으로 π18\displaystyle \frac{\pi}{18}만큼 이동한 점이다.

이때, an=bna _{n} = b _{n}을 만족시키는 nn은 (가) . 그리고 ck=a18k(k=1,2,3,⋯ )c _{k} = a _{18k} ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots )라 하면, 수열 {ck}\{ c _{k} \}는 공비가 (나)인 등비수열이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) ①존재하지 않는다 −12\displaystyle - \frac{1}{2}②존재하지 않는다 −1- 1③존재한다 −12\displaystyle - \frac{1}{2}④존재한다 −1- 1⑤존재한다 12\displaystyle \frac{1}{2}

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②

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해설

점 Pn{an,bn}P _{n} \left\{ a _{n} , b _{n} \right\}을 좌표평면에 나타내면

an=bna _{n} = b _{n}을 만족하는 점 PnP _{n}은 y=xy = x의 그래프 위의 점이다. 이 때, y=xy = x의 그래프는 xx축의 양의 방향과 이루는 각이 π4\displaystyle \frac{\pi}{4}이다. 그러나 π18⋅t=π4\displaystyle \frac{\pi}{18} \cdot t = \frac{\pi}{4}를 만족하는 자연수 tt가 존재하지 않으므로 an=bna _{n} = b _{n}을 만족하는 nn은 존재하지 않는다. 그리고 c1=a18=−1c _{1} = a _{18} = - 1, c2=a36=1c _{2} = a _{36} = 1 따라서 수열 {ck}\left\{ c _{k} \right\}는 -1, 1, -1, 1, …이다. 즉, 공비가 -1인 등비수열이다.

태그

#삼각함수#등비수열#호의 길이

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