기하평면벡터수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

원 위 내적 최댓값

문제

평면 위에 OA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}}=2+23\displaystyle = 2 + 2 \sqrt{3}, AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}=4= 4, ∠COA\angle \mathrm{COA}=π3\displaystyle = \frac{\pi}{3}, ∠A\angle \mathrm{A}=∠B= \angle \mathrm{B}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2} 를 만족시키는 사다리꼴 OABC\mathrm{OABC}가 있다. 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 OC⃗∙OP⃗{\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{OP}}}의 값이 최대가 되도록 하는 점 P\mathrm{P}를 Q\mathrm{Q}라 할 때, 직선 OQ\mathrm{OQ}가 원과 만나는 점 중 Q\mathrm{Q}가 아닌 점을 D\mathrm{D}라 하자. 원 위의 점 R\mathrm{R}에 대하여 DQ⃗∙AR⃗{\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{AR}}}의 최댓값을 MM이라 할 때, M2M ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

정답 보기
108

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 평면벡터의 내적의 성질을 활용하여 문제해결하기 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 원의 중심을 E\mathrm{E}라 하자. OC⃗∙OP⃗{\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{OP}}}=OC⃗∙(OE⃗+EP⃗)= {\vec{\mathrm{OC}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{OE}}} + {\vec{\mathrm{EP}}} \right) =OC⃗∙OE⃗+OC⃗∙EP⃗= {\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{OE}}} + {\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{EP}}} OC⃗∙OE⃗{\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{OE}}}의 값은 일정하므로 OC⃗∙EP⃗{\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{EP}}}의 값이 최대일 때 OC⃗∙OP⃗{\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{OP}}}의 값이 최대이다. 두 벡터 OC⃗{\vec{\mathrm{OC}}}, EP⃗{\vec{\mathrm{EP}}}의 방향이 같을 때, OC⃗∙EP⃗{\vec{\mathrm{OC}}} \bullet {\vec{\mathrm{EP}}}의 값이 최대이다. 두 벡터 OC⃗{\vec{\mathrm{OC}}}, EP⃗{\vec{\mathrm{EP}}}의 방향이 같을 때의 점 P\mathrm{P}가 Q\mathrm{Q}이다.

선분 QE\mathrm{QE}가 선분 OA\mathrm{OA}와 만나는 점을 F\mathrm{F}라 하자. ∠EFA\angle \mathrm{EFA}=π3\displaystyle = \frac{\pi}{3}, AE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}}=2= 2이므로 FE‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FE}}}=433\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, FA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}}=233\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3}}{3} OF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}}=OA‾−FA‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{OA}}} - {\overline{\mathrm{FA}}}=2+433\displaystyle = 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} FQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FQ}}}=FE‾+EQ‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{FE}}} + {\overline{\mathrm{EQ}}}=2+433\displaystyle = 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} OF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OF}}}=FQ‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{FQ}}}이므로 ∠OQF\angle \mathrm{OQF}=π6\displaystyle = \frac{\pi}{6} 그러므로 DQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{DQ}}}=23\displaystyle = 2 \sqrt{3} DQ⃗∙AR⃗{\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{AR}}}=DQ⃗∙(AE⃗+ER⃗)= {\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{AE}}} + {\vec{\mathrm{ER}}} \right) =DQ⃗∙AE⃗+DQ⃗∙ER⃗= {\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{AE}}} + {\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{ER}}} ⋯⋯\cdots \cdots ㉠ 두 벡터 DQ⃗{\vec{\mathrm{DQ}}}, AE⃗{\vec{\mathrm{AE}}}가 이루는 각의 크기는 π3\displaystyle \frac{\pi}{3} DQ⃗∙AE⃗{\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{AE}}}=23×2×cos⁡π3\displaystyle = 2 \sqrt{3} \times 2 \times \cos \frac{\pi}{3}=23\displaystyle = 2 \sqrt{3} 두 벡터 DQ⃗{\vec{\mathrm{DQ}}}, ER⃗{\vec{\mathrm{ER}}}의 방향이 같을 때, DQ⃗∙ER⃗{\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{ER}}}의 값이 최대이므로 DQ⃗∙ER⃗{\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{ER}}}≤23×2\displaystyle \leq 2 \sqrt{3} \times 2=43\displaystyle = 4 \sqrt{3} ㉠에 의하여 DQ⃗∙AR⃗{\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{AR}}}=DQ⃗∙AE⃗+DQ⃗∙ER⃗= {\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{AE}}} + {\vec{\mathrm{DQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{ER}}} ≤23+43\displaystyle \leq 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}=63\displaystyle = 6 \sqrt{3} 따라서 MM=63\displaystyle = 6 \sqrt{3}이므로 M2M ^{2}=108= 108

태그

#내적#최댓값

비슷한 문제 더 보기

기하 문제 모음기하 평면벡터 문제 모음수능 문제 모음고난도 킬러 문제 모음
← 전체 문제 목록으로