원 위 점과 로그 최솟값

주어진 식은 결국 $\displaystyle \log _{\frac{1}{2}} \left( \frac{y + 1}{x + 3} \right)$의 최솟값을 구하라는 것과 같다. 그런데, 밑은 $\displaystyle 0 < \frac{1}{2} < 1$이므로 $\displaystyle \frac{y + 1}{x + 3}$이 최대일때 주어진 식은 최솟값을 갖는다. 여기서, $\displaystyle \frac{y + 1}{x + 3}$의 의미를 살펴보면 $\displaystyle \frac{y - ( - 1 )}{x - ( - 3 )}$, 즉 원 위의 점 ${\mathrm{P}} ( x , y )$와 $( - 3 , - 1 )$을 이은 직선의 기울기의 최댓값을 구하라는 것으로 해석할 수 있다. 이 때, 기울기의 최솟값은 $( - 3 , - 1 )$을 지나면서 기울기가 $k$인 직선이 원과 접할 때의 $k$값이다. $\therefore y + 1 = k ( x + 3 ) , kx - y + 3 k - 1 = 0$ 결국 원의 중심으로부터 직선까지의 거리가 1이 되는 그러한 $m$값을 찾아주면 된다. $\displaystyle \therefore \frac{| 3 k - 1 |}{\sqrt{k ^{2} + 1}} = 1$ $\rightarrow$ $4 k ^{2} - 3 k = 0$, $\displaystyle \therefore k = \frac{3}{4}$($\because y \ne - 1$) $\displaystyle \therefore \log _{\frac{1}{2}} \left( \frac{y + 1}{x + 3} \right) \geq \log _{\frac{1}{2}} \frac{3}{4} = m$ $\displaystyle \therefore 2 ^{m} = \frac{4}{3}$