기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위 점과 벡터 내적

문제

좌표평면 위에 길이가 6\mathrm{6}인 선분 AB{\mathrm{AB}}를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 C{\mathrm{C}}, D{\mathrm{D}}가 AB⃗∙AC⃗=27{\vec{\mathrm{AB}}} \bullet {\vec{\mathrm{AC}}} = 27, AB⃗∙AD⃗=9{\vec{{\mathrm{AB}}}} \bullet {\vec{{\mathrm{AD}}}} = 9, CD‾>3\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} > 3 을 만족시킨다. 선분 AC{\mathrm{AC}} 위의 서로 다른 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}와 상수 kk가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 32DP⃗−AB⃗=kBC⃗\displaystyle \frac{3}{2} {\vec{\mathrm{DP}}} - {\vec{\mathrm{AB}}} = k {\vec{\mathrm{BC}}} (나) QB⃗∙QD⃗=3{\vec{\mathrm{QB}}} \bullet {\vec{\mathrm{QD}}} = 3

k×(AQ⃗∙DP⃗)k \times ( {\vec{{\mathrm{AQ}}}} \bullet {\vec{{\mathrm{DP}}}} )의 값을 구하시오. [4점]

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15

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해설

두 점 C{\mathrm{C}}, D{\mathrm{D}}는 원 위의 점이므로 ∠ACB=π2\displaystyle \angle \mathrm{ACB} \mathit{=} \frac{\pi}{2}, ∠ADB=π2\displaystyle \angle \mathrm{ADB} \mathit{=} \frac{\pi}{2} AB⃗∙AC⃗=∣AC⃗∣2=27{\vec{\mathrm{AB}}} \bullet {\vec{\mathrm{AC}}} = \left| {\vec{\mathrm{AC}}} \right| ^{2} = 27에서 AC‾=33\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 3 \sqrt{3} AB⃗∙AD⃗=∣AD⃗∣2=9{\vec{\mathrm{AB}}} \bullet {\vec{\mathrm{AD}}} = \left| {\vec{\mathrm{AD}}} \right| ^{2} = 9에서 AD‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 3 그러므로 BC‾=3\displaystyle \overline{{\mathrm{BC}}} = 3, BD‾=33\displaystyle \overline{{\mathrm{BD}}} = 3 \sqrt{3} CD‾>3\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} > 3이므로 CD‾=6\displaystyle \overline{{\mathrm{CD}}} = 6 AC‾=DB‾=33\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = {\overline{\mathrm{DB}}} = 3 \sqrt{3}, AD‾=CB‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{CB}}} = 3, ∠ACB=∠ADB=π2\displaystyle \angle \mathrm{ACB} \mathit{=} \angle \mathrm{ADB} \mathit{=} \frac{\pi}{2}이므로 사각형 ADBC\mathrm{ADBC}는 직사각형이다. 그러므로 AC⃗=DB⃗{\vec{\mathrm{AC}}} = {\vec{\mathrm{DB}}}, DA⃗=BC⃗{\vec{{\mathrm{DA}}}} = {\vec{{\mathrm{BC}}}}

조건 (가)에 의하여 32DP⃗−AB⃗=kBC⃗\displaystyle \frac{3}{2} {\vec{\mathrm{DP}}} - {\vec{\mathrm{AB}}} = k {\vec{\mathrm{BC}}}에서 32DP⃗−(DB⃗−DA⃗)=kBC⃗\displaystyle \frac{3}{2} {\vec{\mathrm{DP}}} - \left( {\vec{\mathrm{DB}}} - {\vec{\mathrm{DA}}} \right) = k {\vec{\mathrm{BC}}} 32DP⃗−DB⃗\displaystyle \frac{3}{2} {\vec{\mathrm{DP}}} - {\vec{\mathrm{DB}}}=kBC⃗−DA⃗= k {\vec{\mathrm{BC}}} - {\vec{\mathrm{DA}}}=kBC⃗−BC⃗= k {\vec{{\mathrm{BC}}}} - {\vec{{\mathrm{BC}}}}=(k−1)BC⃗= ( k - 1 ) {\vec{{\mathrm{BC}}}} DE⃗=32DP⃗\displaystyle {\vec{\mathrm{DE}}} = \frac{3}{2} {\vec{\mathrm{DP}}}를 만족시키는 점을 E{\mathrm{E}}라 하면 DE⃗−DB⃗=(k−1)BC⃗{\vec{{\mathrm{DE}}}} - {\vec{{\mathrm{DB}}}} = ( k - 1 ) {\vec{{\mathrm{BC}}}} BE⃗=(k−1)BC⃗{\vec{{\mathrm{BE}}}} = ( k - 1 ) {\vec{{\mathrm{BC}}}} 그러므로 점 E{\mathrm{E}}는 직선 BC{\mathrm{BC}} 위에 있다.

두 삼각형 EPC{\mathrm{EPC}}, EDB{\mathrm{EDB}}는 서로 닮음이고 닮음비가 1:31 : 3이므로 BE‾=32BC‾\displaystyle \overline{{\mathrm{BE}}} = \frac{3}{2} \overline{{\mathrm{BC}}}이므로 k−1=32\displaystyle k - 1 = \frac{3}{2}에서 k=52\displaystyle k = \frac{5}{2} PC‾=13DB‾=3\displaystyle \overline{{\mathrm{PC}}} = \frac{1}{3} \overline{{\mathrm{DB}}} = \sqrt{3} 그러므로 AP‾=AC‾−PC‾=23\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{AC}}} - {\overline{\mathrm{PC}}} = 2 \sqrt{3} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠

선분 BD{\mathrm{BD}}의 중점을 M{\mathrm{M}}이라 하면 조건 (나)에 의하여 QB⃗∙QD⃗=3{\vec{{\mathrm{QB}}}} \bullet {\vec{{\mathrm{QD}}}} = 3 QB⃗∙QD⃗{\vec{{\mathrm{QB}}}} \bullet {\vec{{\mathrm{QD}}}} =(QM⃗+MB⃗)∙(QM⃗+MD⃗)= \left( {\vec{\mathrm{QM}}} + {\vec{\mathrm{MB}}} \right) \bullet \left( {\vec{\mathrm{QM}}} + {\vec{\mathrm{MD}}} \right) =∣QM⃗∣2+QM⃗∙(MB⃗+MD⃗)+MB⃗∙MD⃗= \left| {\vec{\mathrm{QM}}} \right| ^{2} + {\vec{\mathrm{QM}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{MB}}} + {\vec{\mathrm{MD}}} \right) + {\vec{\mathrm{MB}}} \bullet {\vec{\mathrm{MD}}} =∣QM⃗∣2+QM⃗∙0⃗−∣MB⃗∣2= \left| {\vec{\mathrm{QM}}} \right| ^{2} + {\vec{\mathrm{QM}}} \bullet {\vec{0}} - \left| {\vec{\mathrm{MB}}} \right| ^{2} =∣QM⃗∣2−(332)2\displaystyle = \left| {\vec{\mathrm{QM}}} \right| ^{2} - \left( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right) ^{2} =∣QM⃗∣2−274\displaystyle = \left| {\vec{\mathrm{QM}}} \right| ^{2} - \frac{27}{4} 이므로 ∣QM⃗∣2=394\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{QM}}} \right| ^{2} = \frac{39}{4} 선분 AC{\mathrm{AC}}의 중점을 N{\mathrm{N}}이라 하면 MN‾=BC‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{MN}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} = 3 ∣QM⃗∣2\left| {\vec{\mathrm{QM}}} \right| ^{2}=∣QN⃗∣2+∣MN⃗∣2= \left| {\vec{\mathrm{QN}}} \right| ^{2} + \left| {\vec{\mathrm{MN}}} \right| ^{2}=∣QN⃗∣2+9= \left| {\vec{\mathrm{QN}}} \right| ^{2} + 9 ∣QN⃗∣2=∣QM⃗∣2−9=34\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{QN}}} \right| ^{2} = \left| {\vec{\mathrm{QM}}} \right| ^{2} - 9 = \frac{3}{4} ∣QN⃗∣=32\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{QN}}} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2} AQ‾=AC‾−QC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AQ}}} = {\overline{\mathrm{AC}}} - {\overline{\mathrm{QC}}}이므로 ∣AQ⃗∣=3\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| = \sqrt{3} 또는 ∣AQ⃗∣=23\displaystyle | {\vec{{\mathrm{AQ}}}} | = 2 \sqrt{3} ∣AQ⃗∣=23\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| = 2 \sqrt{3}이면 ㉠에 의하여 점 P{\mathrm{P}}는 점 Q{\mathrm{Q}}와 같으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. 그러므로 ∣AQ⃗∣=3\displaystyle \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| = \sqrt{3} AQ⃗∙DP⃗{\vec{\mathrm{AQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{DP}}}=∣AQ⃗∣×∣DP⃗∣×cos⁡(∠DPA)= \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{DP}}} \right| \times \cos \left( \angle \mathrm{DPA} \right) =∣AQ⃗∣×∣AP⃗∣= \left| {\vec{\mathrm{AQ}}} \right| \times \left| {\vec{\mathrm{AP}}} \right| =3×23=6\displaystyle = \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3} = 6 따라서 k×(AQ⃗∙DP⃗)=52×6=15\displaystyle k \times ( {\vec{{\mathrm{AQ}}}} \bullet {\vec{{\mathrm{DP}}}} ) = \frac{5}{2} \times 6 = 15

태그

#벡터의 내적#원

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