공통수학2원의 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 격자점 증명

문제

다음은 좌표평면 위의 점 C(3,15)\displaystyle {\mathrm{C}} \mathit{\left( \sqrt{3} , \frac{1}{5} \right)}을 중심으로 하고, xx좌표, yy좌표가 모두 정수인 점 P{\mathrm{P}}를 지나는 원을 그리면 이 원 위의 점들 중에는 xx좌표, yy좌표가 모두 정수인 점이 P{\mathrm{P}}외에 존재하지 않음을 증명한 것이다. <증명>

원 위에 점 P(a,b){\mathrm{P}} \mathit{(} a , b ) (aa, bb는 정수)가 아닌 다른 점 Q(c,d){\mathrm{Q}} \mathit{(} c , d )(cc, dd는 정수)가 존재한다고 가정하자.

CP‾=CQ‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{P}}}} = {\overline{{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{Q}}}}이므로 (a−3)2+(b−15)2=(c−3)2+(d−15)2\displaystyle \sqrt{( a - \sqrt{3} ) ^{2} + \left( b - \frac{1}{5} \right) ^{2}} = \sqrt{( c - \sqrt{3} ) ^{2} + \left( d - \frac{1}{5} \right) ^{2}} 양변을 제곱하여 정리하면 a2−c2+b2−d2−25(b−d)=□(가)\displaystyle a ^{2} - c ^{2} + b ^{2} - d ^{2} - \frac{2}{5} ( b - d ) = \square {( \text{가} )}⋯⋯\cdots \cdots ①①에서 좌변은 □(나)\square {( \text{나} )}으므로 a−c=0a - c = 0 ∴b2−d2−25(b−d)=0⋯⋯\displaystyle \therefore b ^{2} - d ^{2} - \frac{2}{5} ( b - d ) = 0 \cdots \cdots②②에서 bb, dd는 정수이므로 □(다)\square {( \text{다} )} 따라서 이 원 위의 점들 중에는 xx좌표, yy좌표가 모두 정수인 점이 PP외에 존재하지 않는다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에서 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①3(a−c)\displaystyle \sqrt{3} ( a - c ) 유리수 b+d=5b + d = 5②3(a−c)\displaystyle \sqrt{3} ( a - c ) 무리수 b+d=5b + d = 5③23(a−b)\displaystyle 2 \sqrt{3} ( a - b ) 유리수 b+d=5b + d = 5④23(a−c)\displaystyle 2 \sqrt{3} ( a - c ) 무리수 b−d=0b - d = 0⑤23(a−c)\displaystyle 2 \sqrt{3} ( a - c ) 유리수 b−d=0b - d = 0

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⑤

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해설

[출제의도] 무리수가 서로 같을 조건을 이용하여 제가 참임을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. 원 위에 점 P(a,b)\mathrm{P} \mathit{\left( a , b \right)} (aa, dd는 정수)가 존재한다고 가정하자.

CP‾=CQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{CP}} = \overline{CQ}이므로 (a−3)2+(b−15)2=(c−3)2+(d−15)2\displaystyle \sqrt{\left( a - \sqrt{3} \right) ^{2} + \left( b - \frac{1}{5} \right) ^{2}} = \sqrt{\left( c - \sqrt{3} \right) ^{2} + \left( d - \frac{1}{5} \right) ^{2}} 양변을 제곱하여 정리하면 a2−c2+b2−d2−25(b−d)=□23(a−c)\displaystyle a ^{2} - c ^{2} + b ^{2} - d ^{2} - \frac{2}{5} \left( b - d \right) = \square {2 \sqrt{3} \left( a - c \right)} ---① ①에서 좌변은□유리수{\square {\text{유리수}}}으므로 a−c=0a - c = 0 ∴b2−d2−25(b−d)=0⋯⋯\displaystyle \therefore b ^{2} - d ^{2} - \frac{2}{5} ( b - d ) = 0 \cdots \cdots ② ②에서 bb, dd는 정수이므로 □b−d=0{\square {b - d = 0}} a=ca = c, b=db = d이므로 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}는 서로 같은 점이다. 따라서 이 원 위의 점들 중에는 xx좌표, yy좌표가 모두 정수인 점이 P\mathrm{P}외에 존재하지 않는다.

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#원#무리수#증명 빈칸

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