원 속 삼각형 행렬

$x ^{2} + y ^{2} - 2 x - 4 y - 11 = 0$ $\leftrightarrow$ $( x - 1 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 4 ^{2}$ 직선 $y = 2 x$는 원의 중심 $( 1 , 2 )$를 지나므로 선분 $\mathrm{PQ}$는 원의 지름이 된다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\angle} PRQ = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ ∴ $A$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {\sin \alpha} & {\sin \beta} \\ {\cos \alpha} & {\cos \beta} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {\sin \alpha} & {\cos \alpha} \\ {\cos \alpha} & {\sin \alpha} \end{pmatrix}$ $A ^{2}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {1} & {2 \sin \alpha \cos \alpha} \\ {2 \sin \alpha \cos \alpha} & {1} \end{pmatrix}$이므로 $8 A ^{2} = 4 A + 7 E$에서 $\displaystyle \begin{pmatrix} {8} & {16 \sin \alpha \cos \alpha} \\ {16 \sin \alpha \cos \alpha} & {8} \end{pmatrix}$$\displaystyle = \begin{pmatrix} {4 \sin \alpha + 7} & {4 \cos \alpha} \\ {4 \cos \alpha} & {4 \sin \alpha + 7} \end{pmatrix}$ $4 \sin \alpha + 7 = 8$에서 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{4}$, $\displaystyle \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin ^{2} \alpha} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \overline{PQ} \cos \alpha = 8 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = 2 \sqrt{15}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = \overline{PQ} \sin \alpha = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$ ∴ $S$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \overline{PR} \cdot \overline{QR}$$\displaystyle = 2 \sqrt{15}$ ∴ $\displaystyle S ^{2} = ( 2 \sqrt{15} ) ^{2} = 60$

[다른 풀이] $8 A ^{2} = 4 A + 7 E$ 즉, $\displaystyle A ^{2} - \frac{1}{2} A - \frac{7}{8} E = O$를 만족하는 $A = kE$꼴의 이차정사각행렬은 존재하지 않으므로 $\displaystyle A ^{2} - \frac{1}{2} A - \frac{7}{8} E = O$는 행렬 $A$의 케일리해밀턴정리에 의해 유도된 다항식과 일치한다. 따라서 $\displaystyle 2 \sin \alpha = \frac{1}{2}$에서 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{4}$