미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 넓이의 무한급수

문제

좌표평면에 원 $C _{1} : ( x - 4 ) ^{2} + y ^{2} = 1$ 이 있다. 그림과 같이 원점에서 원 $C _{1}$ 에 기울기가 양수인 접선 $l$ 을 그었을 때 생기는 접점을 $\mathrm{P} _{1}$ 이라 하자. 중심이 직선 $l$ 위에 있고 점 $\mathrm{P} _{1}$ 을 지나며 $x$ 축에 접하는 원을 $C _{2}$ 라 하고 이 원과 $x$ 축의 접점을 $\mathrm{P} _{2}$ 라 하자. 중심이 $x$ 축 위에 있고 점 $\mathrm{P} _{2}$ 를 지나며 직선 $l$ 에 접하는 원을 $C _{3}$ 이라 하고 이 원과 직선 $l$ 의 접점을 $\mathrm{P} _{3}$ 이라 하자. 중심이 직선 $l$ 위에 있고 점 $\mathrm{P} _{3}$ 을 지나며 $x$ 축에 접하는 원을 $C _{4}$ 라 하고 이 원과 $x$ 축의 접점을 $\mathrm{P} _{4}$ 라 하자. 이와 같은 과정을 계속할 때, 원 $C _{n}$ 의 넓이를 $S _{n}$ 이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$ 의 값은? (단, 원 $C _{n+1}$ 의 반지름의 길이는 원 $C _{n}$ 의 반지름의 길이보다 작다.) [4점]

① $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$ ② $2 \pi$ ③ $\displaystyle \frac{5}{2} \pi$ ④ $3 \pi$ ⑤ $\displaystyle \frac{7}{2} \pi$

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③

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해설

원 $C _{1} , C _{2}$ 의 중심을 각각 $Q _{1} , Q _{2}$ 라 하자. $\triangle OP _{1} Q _{1}$ 에서 $\displaystyle \overline{OP} _{1} = \sqrt{4 ^{2} - 1 ^{2}} = \sqrt{15}$ 이고, $\triangle OP _{1} Q _{1} \propto \triangle OP _{2} Q _{2}$ 이므로 $\displaystyle \overline{OP} _{1} : \overline{P _{1} Q _{1}} = \overline{OP} _{2} : \overline{P _{2} Q _{2}}$ $\displaystyle \sqrt{15} : 1 = 3 : \overline{P _{2} Q _{2}}$ ∴ $\displaystyle \overline{P _{2} Q _{2}} = \frac{3}{\sqrt{15}}$ 따라서, $\triangle OP _{1} Q _{1}$ 과 $\triangle OP _{2} Q _{2}$ 의 닮음비는 $\displaystyle \overline{P _{1} Q _{1}} : \overline{P _{2} Q _{2}} = 1 : \frac{3}{\sqrt{15}}$ 이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1 : \frac{9}{15} = 1 : \frac{3}{5}$ 이다. 원 $C _{1}$ 의 넓이는 $S _{1} = \pi$ 이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = S _{1} + S _{2} + S _{3} + \cdots$ $\displaystyle = S _{1} + \frac{3}{5} S _{1} + \left( \frac{3}{5} \right) ^{2} S _{1} + \cdots$ $\displaystyle = \frac{S _{1}}{1 - \frac{3}{5}}$ $\displaystyle = \frac{5}{2} S _{1}$ $\displaystyle = \frac{5}{2} \pi$

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