미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 접선 미분

문제

[13 ~ 14] 11보다 큰 실수 tt에 대하여 그림과 같이 점 P(t+1t,0)\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{t} + \frac{1}{t} , 0 \right)에서 원 x2+y2=12t2\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \frac{1}{2 t ^{2}}에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제11사분면에서 만나는 점을 Q\mathrm{Q}, 원 위의 점 (0,−12t)\displaystyle {} _{} \left( 0 , - \frac{1}{\sqrt{2} \mathit{t}} \right)을 R\mathrm{R}라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

OP‾×OQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} \times \mathrm{\overline{OQ}}를 f(t)f \left( t \right)라 할 때, f′(2)\displaystyle f' \left( \sqrt{2} \right)의 값은? [3점] ①−1- 1②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③−14\displaystyle - \frac{1}{4}④−18\displaystyle - \frac{1}{8}⑤−116\displaystyle - \frac{1}{16}

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②

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해설

[출제의도] 몫의 미분법 이해하기 OP‾=t+1t\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = \mathit{t} + \frac{1}{t}, OQ‾=22t\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} \frac{= \mathit{\sqrt{2}}}{2 t} f(t)=OP‾×OQ‾=22+22t2\displaystyle f \left( t \right) = \mathrm{\overline{OP}} \times {\overline{OQ}} = \frac{\mathit{\sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2 t ^{2}} f′(t)=−2t3\displaystyle f' \left( t \right) = - \frac{\sqrt{2}}{t ^{3}}이므로 f′(2)=−12\displaystyle f' \left( \sqrt{2} \right) = - \frac{1}{2}

태그

#원의 접선#미분

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