미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 등분점 현 길이 곱

문제

그림과 같이 지름의 길이가 22인 원이 있다. 원의 둘레를 1010등분하여 각 등분점을 시계 방향으로 차례로 P1\mathrm{P} _{1}, P2\mathrm{P} _{2}, ⋯\cdots, P10\mathrm{P} _{10}이라 할 때, 다음 중 P1P2‾⋅P1P4‾⋅P1P5‾\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} \cdot \overline{P _{1} P _{4}} \cdot \overline{P _{1} P _{5}}의 값과 같은 것은? [3점]

①2sin⁡π10\displaystyle 2 \sin \frac{\pi}{10}②sin⁡π5\displaystyle \sin \frac{\pi}{5}③2sin⁡π5\displaystyle 2 \sin \frac{\pi}{5}④sin⁡25π\displaystyle \sin \frac{2}{5} \pi⑤2sin⁡25π\displaystyle 2 \sin \frac{2}{5} \pi

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⑤

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해설

P1P2‾=P5P6‾=2sin⁡π10\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} = \mathrm{\overline{P _{5} P _{6}}} = 2 \sin \frac{\pi}{10}, P1P4‾=2cos⁡π5\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{4}}} = 2 \cos \frac{\pi}{5}, P1P5‾=2cos⁡π10\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{5}}} = 2 \cos \frac{\pi}{10} P1P2‾⋅P1P4‾⋅P1P5‾=8sin⁡π10cos⁡π5cos⁡π10\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} \cdot \overline{P _{1} P _{4}} \cdot \overline{P _{1} P _{5}} = 8 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{10} =4sin⁡π5cos⁡π5\displaystyle \mathrm{=} 4 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} =2sin⁡25π\displaystyle \mathrm{=} 2 \sin \frac{2}{5} \pi [다른 풀이] P1P2‾=2cos⁡25π\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} = 2 \cos \frac{2}{5} \pi, P1P4‾=2cos⁡π5\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{4}}} = 2 \cos \frac{\pi}{5}, P1P5‾=2cos⁡π10\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{5}}} = 2 \cos \frac{\pi}{10} S=S =P1P2‾×P1P4‾×P1P5‾\displaystyle \mathrm{\overline{P _{1} P _{2}}} \times \overline{P _{1} P _{4}} \times \overline{P _{1} P _{5}}라고 하면 sin⁡π10S\displaystyle \sin \frac{\pi}{10} S=sin⁡π10⋅2cos⁡25π⋅2cos⁡π5⋅2cos⁡π10\displaystyle = \sin \frac{\pi}{10} \cdot 2 \cos \frac{2}{5} \pi \cdot 2 \cos \frac{\pi}{5} \cdot 2 \cos \frac{\pi}{10} =sin⁡π10⋅2cos⁡π10⋅2cos⁡π5⋅2cos⁡25π\displaystyle = \sin \frac{\pi}{10} \cdot 2 \cos \frac{\pi}{10} \cdot 2 \cos \frac{\pi}{5} \cdot 2 \cos \frac{2}{5} \pi =sin⁡π5⋅2cos⁡π5⋅2cos⁡25π\displaystyle = \sin \frac{\pi}{5} \cdot 2 \cos \frac{\pi}{5} \cdot 2 \cos \frac{2}{5} \pi =sin⁡25π⋅2cos⁡25π\displaystyle = \sin \frac{2}{5} \pi \cdot 2 \cos \frac{2}{5} \pi =sin⁡45π\displaystyle = \sin \frac{4}{5} \pi이므로 S=sin⁡45πsin⁡π10=sin⁡π5sin⁡π10\displaystyle S = \frac{\sin \frac{4}{5} \pi}{\sin \frac{\pi}{10}} = \frac{\sin \frac{\pi}{5}}{\sin \frac{\pi}{10}}=2sin⁡π10cos⁡π10sin⁡π10\displaystyle = \frac{2 \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{10}}{\sin \frac{\pi}{10}}=2cos⁡π10\displaystyle = 2 \cos \frac{\pi}{10}=2sin⁡2π5\displaystyle = 2 \sin \frac{2 \pi}{5}

태그

#현의 길이#삼각함수

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