원 밖의 점에서 그은 두 접선이 이루는 각의 코사인

점 $A ( 11 , 2 )$에서 원 $x ^{2} + y ^{2} = 25$에 그은 두 접선의 접점을 $B , C$라 하면 $\triangle OAB$는 직각 삼각형이다. $\displaystyle \overline{OB} = 5$, $\displaystyle \overline{OA} = \sqrt{11 ^{2} + 2 ^{2}} = 5 \sqrt{5}$, $\displaystyle \overline{AB} = \sqrt{{\overline{OA}} ^{2} - {\overline{OB}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{125 - 25} = 10$ 점 $B$에서 $\displaystyle \overline{OA}$에 내린 수선의 발을 $D$라 하면 $\triangle OAB$의 면적 $S$는 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot \overline{OB} \cdot \overline{AB} = \frac{1}{2} \cdot \overline{OA} \cdot \overline{BD}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{5} \cdot \overline{BD}$ $\displaystyle \therefore \overline{BD} = 2 \sqrt{5}$ $\displaystyle \therefore \overline{BC} = 4 \sqrt{5}$ $\triangle ABC$ 에 대하여 코사인 제 $2$법칙을 적용하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{10 ^{2} + 10 ^{2} - ( 4 \sqrt{5} ) ^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{120}{200} = \frac{3}{5}$