공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

원 안의 점을 지나는 현의 길이 판정

문제

원 C:x2+y2=9C : x ^{2} + y ^{2} = 9와 점 P(2,1)\mathrm{P} \mathit{(} 2 , 1 )에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

<보 기> ㄱ. 점 P\mathrm{P}는 원 CC의 내부에 있다. ㄴ. 점 P\mathrm{P}를 지나는 원 CC의 현 중 길이가 가장 짧은 것의 길이는 25\displaystyle 2 \sqrt{5}이다. ㄷ. 점 P\mathrm{P}를 지나는 원 CC의 현 중 길이가 55인 것은 11개이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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①

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해설

원 CC의 중심은 원점 O\mathrm{O}, 반지름의 길이는 33이고 OP‾=22+12=5\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{5} ㄱ. OP‾=5<3\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{5} < 3이므로 점 P\mathrm{P}는 원 CC의 내부에 있다. (참) ㄴ. 점 P\mathrm{P}를 지나는 현의 길이는 현이 OP‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}와 수직일 때 가장 짧고, 그 길이는 232−(5)2=24=4\displaystyle 2 \sqrt{3 ^{2} - ( \sqrt{5} ) ^{2}} = 2 \sqrt{4} = 4 (거짓) ㄷ. 점 P\mathrm{P}를 지나는 현의 길이는 가장 짧을 때 44, 가장 길 때(지름) 66이다. 길이가 55인 현은 직선 OP\mathrm{OP}에 대하여 대칭인 위치에 22개 있다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. ①

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#원의 방정식#현의 길이#참거짓

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