공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

완전제곱식과 산술기하평균으로 최솟값 구하기

문제

양수 a,ba , b 에 대하여 a2−6a+ab+9ba\displaystyle a ^{2} - 6 a + \frac{a}{b} + \frac{9 b}{a}가 a=m,b=na = m , b = n일 때 최솟값을 갖는다. 이 때 m+nm + n 의 값은? ①11②22③33④44⑤55

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④

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해설

주어진 관계식을 변형하면 a2−6a+ab+9ba=(a−3)2−9+ab+9ba\displaystyle a ^{2} - 6 a + \frac{a}{b} + \frac{9 b}{a} = ( a - 3 ) ^{2} - 9 + \frac{a}{b} + \frac{9 b}{a} 따라서, a=3a = 3이고 ab+9ba\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{9 b}{a}가 최소일 때 준 식은 최솟값을 갖는다. 산술 기하평균에 의하여 ab+9ba≥2ab⋅9ba=6\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{9 b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{9 b}{a}} = 6 (단, 등호는a=3ba = 3 b) 그러므로 준 식은 a=3,b=1a = 3 , b = 1일 때, 최솟값 −3- 3이 된다. 따라서, m+n=3+1=4m + n = 3 + 1 = 4

태그

#완전제곱식#산술기하평균#최솟값

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