공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

완전제곱 자연수

문제

x2−8x+1x ^{2} - 8 x + 1이 어떤 자연수의 제곱이 되도록 하는 모든 자연수 xx의 값의 합을 구하시오. [4점]

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20

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해설

[출제의도] 부정방정식 이해하기 x2−8x+16−15=n2x ^{2} - 8 x + 16 - 15 = n ^{2} (x−4)2−n2=15( x - 4 ) ^{2} - n ^{2} = 15 (x−4+n)(x−4−n)=15( x - 4 + n ) ( x - 4 - n ) = 15 {x−4+n=15x−4−n=1\displaystyle {\begin{cases} x - 4 + n = 15 & \\ x - 4 - n = 1 & \end{cases}}또는 {x−4+n=5x−4−n=3\displaystyle {\begin{cases} x - 4 + n = 5 & \\ x - 4 - n = 3 & \end{cases}}이다. 따라서 x=12x = 12 또는 x=8x = 8이다. 그러므로 자연수 xx의 모든 값의 합은 2020이다.

태그

#인수분해#정수 조건

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