완전제곱 인수분해

다항식 $x ^{3} + \left( 2 a + 3 \right) x ^{2} + \left( 3 a + 5 \right) x + a + 3$을 조립제법을 이용하여 인수분해하면

$x ^{3} + \left( 2 a + 3 \right) x ^{2} + \left( 3 a + 5 \right) x + a + 3$ $= \left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) x + a + 3 \right\}$ (ⅰ) 다항식 $x ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) x + a + 3$이 $x + 1$을 인수로 가질 때 인수정리에 의하여 $\left( - 1 \right) ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) \times \left( - 1 \right) + a + 3 = 0$에서 $a = 2$ $\left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) x + a + 3 \right\}$ $= \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} + 6 x + 5 \right) = \left( x + 5 \right) \left( x + 1 \right) ^{2}$ 에서 $b = 5$, $c = 1$ 그러므로 $a + b + c = 2 + 5 + 1 = 8$ (ⅱ) 다항식 $x ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) x + a + 3$이 $x + 1$을 인수로 갖지 않을 때 다항식 $x ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) x + a + 3$이 완전제곱식이어야 하므로 $\left( a + 1 \right) ^{2} = a + 3$, $\left( a + 2 \right) \left( a - 1 \right) = 0$에서 $a = - 2$ 또는 $a = 1$ (a) $a = - 2$일 때 $\left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) x + a + 3 \right\}$ $= \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} - 2 x + 1 \right) = \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) ^{2}$ 에서 $b = 1$, $c = - 1$ 그러므로 $a + b + c = - 2 + 1 + \left( - 1 \right) = - 2$ (b) $a = 1$일 때 $\left( x + 1 \right) \left\{ x ^{2} + \left( 2 a + 2 \right) x + a + 3 \right\}$ $= \left( x + 1 \right) \left( x ^{2} + 4 x + 4 \right) = \left( x + 1 \right) \left( x + 2 \right) ^{2}$ 에서 $b = 1$, $c = 2$ 그러므로 $a + b + c = 1 + 1 + 2 = 4$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $M = 8$, $m = - 2$이므로 $M + m = 6$