미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

움직이는 점과 넓이 적분

문제

그림과 같이 두 점 P,Q\mathrm{P} , Q는 각각 (2,0)( 2 , 0 ), (0,−1)( 0 , - 1 )에서 동시에 출발하여 점 P\mathrm{P}는 매초 33의 속도로 xx축의 양의 방향으로 움직이고, 점 Q\mathrm{Q}는 매초 11의 속도로 yy축의 양의 방향으로 움직인다.

출발한 지 tt초 후의 위치를 각각 P′,Q′\mathrm{P}' , Q'이라 하고 △OP′Q′\mathrm{\triangle} OP' Q'의 넓이를 S(t)S ( t )라 하자. ∫02S(t)dt=qp\displaystyle \int _{0} ^{2} {} S ( t ) dt = \frac{q}{p}일 때, p2+q2p ^{2} + q ^{2}의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 직선 운동하는 점의 위치를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. tt초 후의 P,Q\mathrm{P} , Q의 좌표는 각각 (3t+2,0),(0,t−1)( 3 t + 2 , 0 ) , ( 0 , t - 1 )이다. 그런데 0≤t<10 \leq t < 1에서 Q\mathrm{Q}의 yy좌표가 음수이므로 S(t)={(3t+2)(1−t)2(0≤t<1)(3t+2)(t−1)2(1≤t≤2)\displaystyle S ( t ) = \begin{cases} \frac{( 3 t + 2 ) ( 1 - t )}{2} ( 0 \leq t < 1 ) \\ \frac{( 3 t + 2 ) ( t - 1 )}{2} ( 1 \leq t \leq 2 ) \end{cases} 이다. 따라서, ∫02S(t)dt=∫0112(3t+2)(1−t)dt+∫1212(3t+2)(t−1)dt\displaystyle \begin{aligned} \int _{0} ^{2} {} S ( t ) dt & = \int _{0} ^{1} {} \frac{1}{2} ( 3 t + 2 ) ( 1 - t ) dt + \int _{1} ^{2} {} \frac{1}{2} ( 3 t + 2 ) ( t - 1 ) dt \end{aligned} =52\displaystyle \begin{aligned} = \frac{5}{2} & \end{aligned}

태그

#정적분#절댓값#넓이 함수

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