우함수 정적분

다항함수 $f ( x )$에 대하여 $f ( x ) = a _{n} x ^{n} + a _{n-1} x ^{n-1} + \cdots + a _{1} x + a _{0}$ ($a _{0}$, $a _{1}$, $a _{2}$, $\cdots$, $a _{n}$은 실수)라 하면 $f ( - x ) = a _{n} ( - x ) ^{n} + a _{n-1} ( - x ) ^{n-1} + \cdots + a _{1} ( - x ) + a _{0}$ 이고 $k$가 홀수인 경우 $\displaystyle \int _{- 3} ^{3} {x ^{k}} dx = 0$이므로 $\displaystyle \int _{- 3} ^{3} {f ( - x )} dx = \int _{- 3} ^{3} {f ( x )} dx$ 조건 (가)에 의하여 $f ( x ) + f ( - x ) = 3 x ^{2} + ax + b$ ($a$, $b$는 상수) 이고 $f ( x ) + f ( - x )$는 차수가 홀수인 항을 갖지 않으므로 $a = 0$ 조건 (나)에 의하여 $f ( 0 ) + f ( 0 ) = - 2 = b$ 그러므로 $f ( x ) + f ( - x ) = 3 x ^{2} - 2$ $\displaystyle \int _{- 3} ^{3} {\left\{ f ( x ) + f ( - x ) \right\}} dx$ $\displaystyle = \int _{- 3} ^{3} {f ( x )} dx + \int _{- 3} ^{3} {f ( - x )} dx$ $\displaystyle = 2 \int _{- 3} ^{3} {f ( x )} dx$ 따라서 $\displaystyle \int _{- 3} ^{3} {f ( x ) dx}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{- 3} ^{3} {\left\{ f ( x ) + f ( - x ) \right\}} dx$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \int _{- 3} ^{3} {( 3 x ^{2} - 2 )} dx$$= 21$