기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

타원의 접선

문제

좌표평면 위의 점 $A ( 0 , 5 )$ 에서 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 에 그은 두 접선이 타원과 만나는 두 점을 각각 $P , Q$ 라 하자. 두 점 $P , Q$ 를 지나는 직선의 방정식이 $y = k$ 일 때, 상수 $k$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \frac{13}{5}$ ② $\displaystyle \frac{14}{5}$ ③3④ $\displaystyle \frac{16}{5}$ ⑤ $\displaystyle \frac{17}{5}$

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④

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해설

[출제의도] 음함수의 미분 문제해결하기 타원 위의 점 $( a , b )$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{16 a}{25 b} ( x - a ) + b$ 이 접선은 점 $A ( 0 , 5 )$ 를 지나므로 $\displaystyle 5 = \frac{16 a ^{2}}{25 b} + b \cdots ( \text{ㄱ} )$ 한편 점 $( a , b )$ 는 타원 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{25} + \frac{b ^{2}}{16} = 1 \cdots ( \text{ㄴ} )$ 두 식 (ㄱ)과 (ㄴ)을 연립해서 풀면 $\displaystyle a = 3 , b = \frac{16}{5}$ 또는 $\displaystyle a = - 3 , b = \frac{16}{5}$ 두 점 $P , Q$ 의 $y$ 좌표는 모두 $\displaystyle \frac{16}{5}$ 이므로 $\displaystyle k = \frac{16}{5}$

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