타원의 초점

[출제의도] 타원의 방정식에서 초점의 좌표를 구할 수 있는가? 타원 $\displaystyle \frac{\left( x - 2 \right) ^{2}}{a} + \frac{\left( y - 2 \right) ^{2}}{4} = 1$의 두 초점의 좌표가 $\left( 6 , b \right)$, $\left( - 2 , b \right)$이므로 이 타원의 중심은 $\left( 2 , b \right)$이다. 한편 타원 $\displaystyle \frac{\left( x - 2 \right) ^{2}}{a} + \frac{\left( y - 2 \right) ^{2}}{4} = 1$은 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$을 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동시킨 것이다. 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$의 중심이 $\left( 0 , 0 \right)$이므로 점 $\left( 0 , 0 \right)$을 $x$축의 방향으로 $2$만큼, $y$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동시키면 점 $\left( 2 , 2 \right)$이다. 이때, 두 점 $\left( 2 , b \right)$와 $\left( 2 , 2 \right)$가 일치해야 하므로 $b = 2$ 한편, 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$의 초점의 좌표를 $\left( c , 0 \right)$, $\left( - c , 0 \right)$ (단, $c > 0$) 이라 하면 $c = 4$이므로 $a = 2 ^{2} + 4 ^{2} = 20$ 따라서 $ab = 20 \times 2 = 40$