타원과 원의 교점

[출제의도] 타원의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

두 직선 $\mathrm{F}' P$, $\mathrm{QF}$의 교점을 $\mathrm{R}$라 하면 두 직각삼각형 $\mathrm{QF}' R$, $\mathrm{PFR}$가 서로 닮음이고 $\cos \left( \angle \mathrm{QRF}' \right)$$= \cos \left( \angle \mathrm{PRF} \right)$$= \cos \theta$$\displaystyle = \frac{3}{5}$ $\sin \theta$$\displaystyle = \sqrt{1 - \cos ^{2} \theta}$$\displaystyle = \frac{4}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}}$$\mathit{=} 3 t$ ($t > 0$)이라 할 때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{RF}'}}$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{QR}}}}{\cos \theta}$$= 5 t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{QF}'}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{RF}'}} \sin \theta$$\mathit{=} 4 t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{RF}}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{\mathrm{QF}}} - {\overline{\mathrm{QR}}}$$= 4 t - 3 t$$= t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{RP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{RF}}} \cos \theta$$\displaystyle = \frac{3}{5} t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{RF}}} \sin \theta$$\displaystyle = \frac{4}{5} t$ 점 $\mathrm{P}$는 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$$= 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} + {\overline{\mathrm{PF}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{RF}'}} + {\overline{\mathrm{RP}}} + {\overline{\mathrm{PF}}}$ $\displaystyle = 5 t + \frac{3}{5} t + \frac{4}{5} t$$\displaystyle = \frac{32}{5} t$ $2 a$$\displaystyle = \frac{32}{5} t$에서 $a$$\displaystyle = \frac{16}{5} t$ 점 $\mathrm{F}$의 좌표를 $\left( c , 0 \right)$ ($c > 0$)이라 할 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{FF}'}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{2} \times \overline{\mathrm{QF}}$에서 $c$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} t$ $b ^{2}$$= a ^{2} - c ^{2}$$\displaystyle = \frac{256}{25} t ^{2} - 8 t ^{2}$$\displaystyle = \frac{56}{25} t ^{2}$ 따라서 $\displaystyle \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\frac{56}{25} t ^{2}}{\frac{256}{25} t ^{2}}$$\displaystyle = \frac{7}{32}$