타원과 쌍곡선의 교점

타원과 쌍곡선의 초점이 서로 같으므로 $81 - 75 = a ^{2} + b ^{2} = 6$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = {\overline{PQ}} = \mathit{p}$라 하면 점 $\mathrm{P}$가 쌍곡선 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - {\overline{PF}} = \mathit{2} a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \mathit{p} + 2 a$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF'}} = \mathit{2} a$ 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} - {\overline{QF'}} = \mathit{2} a$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} = \mathit{4} a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = {\overline{PQ}} = \mathit{p}$이므로 조건 (나)에 의해 $4 a + 2 p = 20$, $2 a + p = 10$ $\cdots \cdots$ ㉡ 점 $\mathrm{P}$는 타원 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + {\overline{PF'}} = 2 \sqrt{81} = 18$ $2 a + 2 p = 18$, $a + p = 9$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $a = 1$, $p = 8$ ㉠에 대입하면 $b ^{2} = 5$ 따라서 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 점 $\mathrm{P}$는 쌍곡선 $\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$과 타원 $\displaystyle \frac{{x} ^{2}}{81} + \frac{y ^{2}}{75} = 1$의 교점이므로 두 식을 연립하면 $\displaystyle x ^{2} = \frac{27}{2}$, $\displaystyle y ^{2} = \frac{125}{2}$ 따라서 구하는 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$