타원과 쌍곡선 접선

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-평면 곡선 점 $P$의 좌표를 $( x _{1} , y _{1} ) ( x _{1} > 0 , y _{1} > 0 )$이라 하자. $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + y ^{2} = 1$에서 $\displaystyle \frac{x}{2} + 2 y \frac{dy}{dx} = 0$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{x}{4 y} ( y \ne 0 )$ $xy = k$에서 $\displaystyle y + x \frac{dy}{dx} = 0 , \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{x} ( x \ne 0 )$ 점 $P$에서의 접선이 일치하므로 $\displaystyle - \frac{x _{1}}{4 y _{1}} = - \frac{y _{1}}{x _{1}}$에서 $x _{1} ^{2} = 4 y _{1} ^{2} \cdots \text{㉠}$ 점 $P ( x _{1} , y _{1} )$은 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + y ^{2} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{x _{1} ^{2}}{4} + y _{1} ^{2} = 1 \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 $\displaystyle x _{1} = \sqrt{2} , y _{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 점 $P ( x _{1} , y _{1} )$은 곡선 $xy = k$위의 점이므로 $k = x _{1} y _{1} = 1$ 점 $P$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y - \frac{\sqrt{2}}{2} = - \frac{1}{2} ( x - \sqrt{2} )$ 즉, $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + \sqrt{2}$ 이므로 $x$절편은 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$, $y$절편은 $\displaystyle \sqrt{2}$이다. 따라서 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ 이므로 $S + k = 2 + 1 = 3$