기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 사각형 넓이

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0)\mathrm{F} \mathit{(} c , 0 ), F′(−c,0)\mathrm{F}' \mathit{(} - c , 0 )을 초점으로 하는 타원 x2a2+y216=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{16} = 1 과 직선 x=cx = c의 교점을 A,B\mathrm{A} , \mathrm{B}라 하자. 두 점 C(a,0)\mathrm{C} \mathit{(} a , 0 ), D(−a,0)\mathrm{D} \mathit{(} - a , 0 )에 대하여, 사각형 ADBC\mathrm{ADBC}의 넓이를 구하시오.(단, aa와 cc는 양수이다.) [4점]

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32

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해설

점F\mathrm{F}는 타원의 초점이므로 c2=a2−16c ^{2} = a ^{2} - 16 점 A(c,k)\mathrm{A} \mathit{(} c , k )라 하면 k2=16a2−c2a2\displaystyle k ^{2} = 16 \frac{a ^{2} - c ^{2}}{a ^{2}} ∴k=4a2−c2a=16a\displaystyle \therefore k = 4 \frac{\sqrt{a ^{2} - c ^{2}}}{a} = \frac{16}{a} 따라서 □ADBC\square \mathrm{ADBC}의 넓이를 SS라 하면 S=12CD‾⋅AB‾=12⋅2a⋅2k=2ak=2a⋅16a=32\displaystyle S = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{CD}} \cdot \overline{\mathrm{AB}} = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot 2 k = 2 ak = 2 a \cdot \frac{16}{a} = 32

태그

#타원#넓이

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