기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

타원과 포물선의 교점

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0)\mathrm{F} \left( \mathit{c} , 0 \right), F′(−c,0)\mathrm{F}' \left( \mathit{-} c , 0 \right)을 초점으로 하는 타원과 꼭짓점이 원점 O\mathrm{O}이고 점 F\mathrm{F}를 초점으로 하는 포물선이 있다. 타원과 포물선이 만나는 점 중 제11사분면 위의 점을 P\mathrm{P}라 하고, 점 P\mathrm{P}에서 직선 xx=−c= \mathit{-} c에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}라 하자. FP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}}=8= 8이고 삼각형 FPQ\mathrm{FPQ}의 넓이가 2424일 때, 타원의 장축의 길이는? [3점]

①1818②1919③2020④2121⑤2222

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①

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해설

[출제의도] 포물선의 정의 이해하기 직선 xx=−c= - c는 포물선의 준선이므로 PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}=FP‾\displaystyle = \mathrm{\overline{FP}}=8= 8 삼각형 FPQ\mathrm{FPQ}의 넓이가 2424이고 ∠F′QP\mathrm{\angle} F' QP=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}이므로 12×8×F′Q‾\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times \mathrm{\overline{F' Q}}=24= 24에서 F′Q‾\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}}=6= 6 직각삼각형 PQF′\mathrm{PQF}'에서 F′P‾\displaystyle \mathrm{\overline{F' P}}=82+62\displaystyle = \sqrt{8 ^{2} + 6 ^{2}}=10= 10 따라서 타원의 장축의 길이는 FP‾+F′P‾\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} + \overline{F' P}=8+10= 8 + 10=18= 18

태그

#타원#포물선#초점

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