타원과 포물선 조건

[출제의도] 포물선과 타원의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

점 $\mathrm{F}$가 포물선의 초점이므로 포물선의 정의에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{PQ}}$이다. 조건 (나)의 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} - {\overline{\mathrm{F}' Q}} = {\overline{\mathrm{PQ}}} - {\overline{\mathrm{FF}'}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F}' Q}} = {\overline{\mathrm{FF}'}}$ 두 직선 $\mathrm{FF}'$, $\mathrm{PQ}$가 서로 평행하므로 두 삼각형 $\mathrm{PQF}$, $\mathrm{F}' FQ$에서 $\mathrm{\angle} PQF = \angle F' FQ$ 두 삼각형 $\mathrm{PQF}$, $\mathrm{F}' FQ$는 모두 이등변삼각형이므로 $\mathrm{\angle} QFP$$= \mathrm{\angle} PQF = \angle F' FQ$$= \mathrm{\angle} F' QF$ 이고, 선분 $\mathrm{FQ}$는 공통이므로 두 삼각형 $\mathrm{PQF}$, $\mathrm{F}' FQ$는 서로 합동이다. 즉 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = {\overline{\mathrm{PQ}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{F}' Q}} = {\overline{\mathrm{FF}'}}$ 장축의 길이가 $12$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{FP}} = \overline{\mathrm{FF}'} = 2 c$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}'} = 12 - 2 c$ 삼각형 $\mathrm{PFF}'$에서 코사인법칙에 의하여 $\left( 12 - 2 c \right) ^{2} = \left( 2 c \right) ^{2} + \left( 2 c \right) ^{2} - 2 \times \left( 2 c \right) ^{2} \times \cos \left( \mathrm{\angle} F' FP \right)$ $c ^{2} - 16 c + 48 = 0$ $\left( c - 4 \right) \left( c - 12 \right) = 0$ 장축의 길이가 $12$이므로 $c < 6$에서 $c = 4$ 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = \mathit{8}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{FH}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{FP}}} \times \cos \left( \mathrm{\angle} F' FP \right)$$= 7$ $\displaystyle \overline{\mathrm{FH}}$$= 7$에서 점 $\mathrm{H}$의 $x$좌표는 $4 - 7 = \mathit{-} 3$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{FP}}} = \mathit{8}$에서 점 $\mathrm{H}$의 $x$좌표는 $- k + 8$이므로 $- 3 = \mathit{-} k + 8$, 즉 $k = 11$ 따라서 $c + k = 15$