기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 포물선 교점

문제

좌표평면에서 두 점 A(−3,0)\mathrm{A} ( - 3 , 0 ), B(3,0)\mathrm{B} ( 3 , 0 )을 초점으로 하고 장축의 길이가 88인 타원이 있다. 초점이 B\mathrm{B}이고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 타원과 만나는 한 점을 P\mathrm{P}라 할 때, 선분 PB\mathrm{PB}의 길이는? [3점] ①227\displaystyle \frac{22}{7}②237\displaystyle \frac{23}{7}③247\displaystyle \frac{24}{7}④257\displaystyle \frac{25}{7}⑤267\displaystyle \frac{26}{7}

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④

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해설

초점이 B\mathrm{B}이고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 준선은 x=−3x = - 3이다.

그림과 같이 점 P\mathrm{P}를 제11사분면 위의 점으로 정하고 PB‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = a라 하자. 점 P\mathrm{P}에서 xx축에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}, 직선 x=−3x = - 3에 내린 수선의 발을 I\mathrm{I}라 하면 포물선의 정의에 의하여 PH‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = a이므로 BH‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = a이고 AH‾=6−a\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = 6 - a이다. 타원의 정의에 의하여 PA‾+PB‾=8\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} + \overline{PB} = 8이므로 PA‾=8−a\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = 8 - a 직각삼각형 PAH\mathrm{PAH}와 PBH\mathrm{PBH}에서 PA‾2−AH‾2=PB‾2−BH‾2\displaystyle \mathrm{\overline{PA}} ^{2} - {\overline{AH}} ^{2} = {\overline{PB}} ^{2} - {\overline{BH}} ^{2} (8−a)2−a2=a2−(6−a)2( 8 - a ) ^{2} - a ^{2} = a ^{2} - ( 6 - a ) ^{2} ∴ a=257\displaystyle a = \frac{25}{7}

태그

#타원#포물선#정의

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