타원과 포물선 교점

$\displaystyle {\mathrm{\overline{PF}}'} = m$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{PF}}} = n$이라 하면 타원의 정의에 의해 $m + n = 10$ $\cdots \text{㉠}$ 선분 $\mathrm{PQ}$와 $x$축의 교점을 $\mathrm{R}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{PR}} = \frac{1}{2} \overline{PQ} = \sqrt{10}$ 직각삼각형 $\mathrm{PF}' R$에서

$\displaystyle {\mathrm{\overline{F' R}}} = \sqrt{m ^{2} - 10}$ 점 $\mathrm{F}'$을 지나고 $x$축에 수직인 직선을 $l$이라 하면 $l$은 포물선의 준선이고, 점 $\mathrm{P}$에서 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}} = \overline{PF}$ 이다. $\displaystyle {\mathrm{\overline{PF}} = \overline{PH} = \overline{F}' R} = \sqrt{m ^{2} - 10}$이므로 $\displaystyle n = \sqrt{m ^{2} - 10}$에서 $n ^{2} = m ^{2} - 10$ $\cdots \text{㉡}$ ㉠에서 $n = 10 - m$이므로 ㉡에 대입하면 $( 10 - m ) ^{2} = m ^{2} - 10$ $m ^{2} - 20 m + 100 = m ^{2} - 10$ $20 m = 110$, $\displaystyle m = \frac{11}{2}$ $\displaystyle n = 10 - m = \frac{9}{2}$ ∴ $\displaystyle mn = \frac{11}{2} \times \frac{9}{2} = \frac{99}{4}$ ∴ $p + q = 4 + 99 = 103$