타원과 포물선

선분 $\mathrm{FF}'$의 중점을 점 $\mathrm{O}$라 하고, 점 $\mathrm{O}$를 원점으로 하는 좌표평면을 그린다. 타원 $\mathrm{PQRS}$를 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$이라 놓고, 점 $\mathrm{F}$를 $\left( c , 0 \right)$ $\left( c > 0 \right)$이라 놓으면 $c ^{2} = a ^{2} - b ^{2}$ 점 $\mathrm{F}'$를 꼭짓점으로 하고 점 $\mathrm{F}$가 초점인 포물선의 방정식은 $y ^{2} = 4 \times 2 c \left( x + c \right)$

포물선과 준선의 관계에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = {\overline{FF'}} = 2 \mathit{c}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PO}} = 3 \mathit{c}$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 직사각형이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AS}} = {\overline{SD}}$이므로 포물선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{AS}} = {\overline{SF}} = 3 \mathit{c}$ 삼각형 $\mathrm{SOF}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{OS}} \mathit{=} \sqrt{\left( 3 c \right) ^{2} - c ^{2}} = 2 \sqrt{2} c$ 직사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $\displaystyle 32 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle 6 c \times 4 \sqrt{2} c$$\displaystyle = 24 \sqrt{2} c ^{2}$$\displaystyle = 32 \sqrt{2}$ $\displaystyle c ^{2} = \frac{4}{3}$, $\displaystyle c = \frac{2}{\sqrt{3}}$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}}$$\displaystyle = 2 c = 2 \times \frac{2}{\sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$