기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 코사인법칙

문제

그림과 같이 두 초점이 F(c,0)\mathrm{F} \mathit{(} c , 0 ), F′(−c,0)\mathrm{F}' ( - c , 0 )인 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1이 있다. 타원 위에 있고 제22사분면에 있는 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 PF′\mathrm{PF}'의 중점을 Q\mathrm{Q}, 선분 PF\mathrm{PF}를 1:31 : 3으로 내분하는 점을 R\mathrm{R}라 하자. ∠PQR=π2\displaystyle \angle \mathrm{PQR} = \frac{\pi}{2}, QR‾=5\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = \sqrt{5}, RF‾=9\displaystyle \mathrm{\overline{RF}} = 9일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. (단, aa, bb, cc는 양수이다.) [4점]

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104104

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해설

[출제의도] 코사인법칙과 타원의 정의를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가?

직각삼각형 PQR\mathrm{PQR}에서 PR‾=13PF‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{PR}}} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{PF}}} = 3 이므로 PQ‾=QF′‾=k\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{QF}'}} = k라 하면 k2+5=9k ^{2} + 5 = 9 ∴k=2(∵k>0)\therefore k = 2 \left( \because k > 0 \right) 이때 PF′‾=2×2=4\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} = 2 \times 2 = 4 PF‾=3+9=12\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 3 + 9 = 12 이고 PF‾+PF′‾=12+4=16\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{\mathrm{PF}'}} = 12 + 4 = 16 이므로 주어진 타원의 장축의 길이는 1616이다. 따라서 2a=162 a = 16이므로 a=8a = 8 직각삼각형 PQR\mathrm{PQR}에서 ∠QPR=θ\angle \mathrm{QPR} = \theta라 하면 cos⁡θ=23\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{3} 따라서 삼각형 FPF′\mathrm{FPF}'에서 코사인 정리에 의해 FF′‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{FF}'}} ^{2}=122+42−2×12×4×cos⁡θ= 12 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 12 \times 4 \times \cos \theta =160−96×23\displaystyle = 160 - 96 \times \frac{2}{3} =160−64=96= 160 - 64 = 96 ∴FF′‾=96=46\displaystyle \therefore {\overline{\mathrm{FF}'}} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6} 따라서 c=12FF′‾=26\displaystyle c = \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{FF}'}} = 2 \sqrt{6}이므로 a2−b2=(26)2\displaystyle a ^{2} - b ^{2} = \left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} b2=64−24=40b ^{2} = 64 - 24 = 40 ∴a2+b2=64+40=104\therefore a ^{2} + b ^{2} = 64 + 40 = 104

태그

#타원#코사인법칙

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