기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

타원과 두 직선에 접하는 원

문제

두 초점이 F\mathrm{F}, F′\mathrm{F}'인 타원 x264+y216\displaystyle \frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{16}=1= 1 위의 점 중 제11사분면에 있는 점 A\mathrm{A}가 있다. 두 직선 AF\mathrm{AF}, AF′\mathrm{AF}'에 동시에 접하고 중심이 yy축 위에 있는 원 중 중심의 yy좌표가 음수인 것을 CC라 하자. 원 CC의 중심을 B\mathrm{B}라 할 때 사각형 AFBF′\mathrm{AFBF}'의 넓이가 7272이다. 원 CC의 반지름의 길이는? [3점] ①172\displaystyle \frac{17}{2}②99③192\displaystyle \frac{19}{2}④1010⑤212\displaystyle \frac{21}{2}

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②

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해설

[출제의도] 타원의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 원의 반지름의 길이를 구할 수 있는가? AF‾=p\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} = p, AF′‾=q\displaystyle \overline{\mathrm{AF}'} = q라 하면 타원의 정의에 의하여 p+q=2×8=16p + q = 2 \times 8 = 16 원 CC가 두 직선 AF,AF′\mathrm{AF} , \mathrm{AF}'과 접하는 두 점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}, 원 CC의 반지름의 길이를 rr라 하면 BP‾=BQ‾=r\displaystyle \overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{BQ}} = r

사각형 AFBF′\mathrm{AFBF}'의 넓이를 삼각형 ABF\mathrm{ABF}와 삼각형 ABF′\mathrm{ABF}'으로 나누어 생각하면 12×p×r+12×q×r=72\displaystyle \frac{1}{2} \times p \times r + \frac{1}{2} \times q \times r = 72 따라서 rr=72×2p+q\displaystyle = 72 \times \frac{2}{p + q}=72×216\displaystyle = 72 \times \frac{2}{16}=9= 9

태그

#타원의 정의#원의 접선#넓이 |

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