기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 초점

문제

그림과 같이 한 초점이 F(−c,0)(c>0)F ( - c , 0 ) ( c > 0 )인 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1이 직선 4x−3y=04 x - 3 y = 0과 만나는 두 점을 각각 AA, BB라 하고, yy축과 만나는 한 점을 CC라 하자. AF‾+FB‾=8\displaystyle {\overline{AF}} + {\overline{FB}} = 8이고 점 CC에서 직선 4x−3y=04 x - 3 y = 0까지의 거리가 65\displaystyle \frac{6}{5}일 때, OF‾2\displaystyle {\overline{OF}} ^{2}의 값을 구하시오 (단, AF‾>FB‾\displaystyle {\overline{AF}} > {\overline{FB}}이고, OO는 원점이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 타원의 방정식을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다. FF가 아닌 타원의 초점을 F′F'이라 하면 원점을 지나는 직선과 타원의 교점은 원점에 대하여 대칭이므로 BF‾=AF′‾\displaystyle {\overline{BF}} = {\overline{AF'}} 따라서 AF‾+AF′‾=8\displaystyle {\overline{AF}} + {\overline{AF'}} = 8이므로 2a=82 a = 8이고 a=4a = 4

점 CC의 좌표는 (0,b)( 0 , b )이고 점 CC에서 직선 4x−3y=04 x - 3 y = 0까지의 거리는 ∣3b∣5=65\displaystyle \frac{\left| 3 b \right|}{5} = \frac{6}{5} 이므로 b=2b = 2이다. 따라서 점 FF의 좌표는 (−23,0)\displaystyle ( - 2 \sqrt{3} , 0 )이므로 OF‾2=12\displaystyle {\overline{OF}} ^{2} = 12

태그

#타원#초점#대칭

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