타원에 내접하는 사각형 넓이

[출제의도] 타원의 접선의 방정식을 이용하여 사각형의 넓이의 최댓값을 구할 수 있는가? 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3} + y ^{2} = 1$에 접하고 기울기가 $1$인 직선의 방정식은 $y$$\displaystyle = x \pm \sqrt{3 \times 1 + 1}$ 즉, $y$$= x \pm 2$ 직선 $y$$= x + 2$와 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3} + y ^{2} = 1$이 접하는 점이 $\mathrm{B}$이고 직선 $y$$= \mathit{x} - 2$와 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3} + y ^{2} = 1$이 접하는 점이 $\mathrm{D}$일 때, 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 최대이다. 두 직선 $y$$= x + 2$, $y$$= x - 1$ 사이의 거리를 구해 보자. 직선 $y$$= x + 2$ 위의 점 $\left( 0 , 2 \right)$에서 직선 $y$$= \mathit{x} - 1$ 즉 $x - y - 1$$= 0$ 사이의 거리를 $d _{1}$이라 하면 $d _{1}$$\displaystyle = \frac{\left| 0 - 2 - 1 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 두 직선 $y$$= x - 2$, $y$$= x - 1$ 사이의 거리를 구해 보자. 직선 $y$$= x - 2$ 위의 점 $\left( 0 , - 2 \right)$에서 직선 $y$$= \mathit{x} - 1$ 즉 $x - y - 1$$= 0$ 사이의 거리를 $d _{2}$이라 하면 $d _{2}$$\displaystyle = \frac{\left| 0 - \left( - 2 \right) - 1 \right|}{\sqrt{1 ^{2} + \left( - 1 \right) ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 한편, 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3} + y ^{2} = 1$과 직선 $y$$= \mathit{x} - 1$이 만나는 두 점 $\mathrm{A} , C$의 좌표를 구해 보자. $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3} + \left( x - 1 \right) ^{2} = 1$에서 $2 x \left( 2 x - 3 \right)$$= 0$ $x$$= 0$ 또는 $x$$\displaystyle = \frac{3}{2}$ $x$$= 0$일 때, $y$$= \mathit{-} 1$ $x$$\displaystyle = \frac{3}{2}$일 때, $y$$\displaystyle = \frac{3}{2} - 1$$\displaystyle = \frac{1}{2}$ 두 점 $\mathrm{A} , C$가 $\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{3}{2} , \frac{1}{2} \right) , C \left( 0 , - 1 \right)$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \mathit{0} - \frac{3}{2} \right) ^{2} + \left( - 1 - \frac{1}{2} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 따라서 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times \mathit{d} _{1} + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AC}}} \times \mathit{d} _{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $= 3$