타원 꼭짓점 중심의 원

[출제 의도] 타원의 방정식에서 꼭짓점과 초점을 이용하여 장축의 길이를 구할 수 있다. 그림과 같이 타원의 중심을 원점으로 하고 장축이 $x$축 위에 놓이도록 좌표축을 설정하자.

이때 타원의 장축의 길이가 $2 a$이므로 타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$$= 1$ $( b > 0 )$라 하면 두 초점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{F}' ( - \sqrt{\mathit{a} ^{2} - b ^{2}} , 0 )$, $\displaystyle \mathrm{F} ( \sqrt{\mathit{a} ^{2} - b ^{2}} , 0 )$ 이다. 주어진 타원이 음의 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 양의 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 하면 두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$의 좌표는 각각 $\mathrm{A} ( \mathit{-} a , 0 )$, $\mathrm{B} ( 0 , \mathit{b} )$이다. 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{F}$를 지나는 원의 반지름의 길이는 $1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$= 1$에서 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$$= 1$ $b ^{2} = 1 - a ^{2}$ $\cdots$ ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$$= 1$에서 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} - b ^{2}} + a$$= 1$ $\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \sqrt{a ^{2} - ( 1 - a ^{2} )}$$= 1 - a$ 이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 $2 a ^{2} - 1$$= 1 - 2 a + a ^{2}$ $a ^{2} + 2 a - 2$$= 0$ 따라서 $a$$\displaystyle = - 1 + \sqrt{3}$ $( a > 0 )$