기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

타원 접선과 초점

문제

점 (0,2)( 0 , 2 )에서 타원 x28+y22=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{2} = 1에 그은 두 접선의 접점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 하고, 타원의 두 초점 중 하나를 F\mathrm{F}라 할 때, 삼각형 PFQ\mathrm{PFQ}의 둘레의 길이는 a2+b\displaystyle a \sqrt{2} + b이다. a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오.(단, a,ba , b는 유리수이다.) [4점]

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해설

접점의 좌표를 (x1,y1)( x _{1} , y _{1} )이라 하면 접선의 방정식은 x1x8+y1y2=1\displaystyle \frac{x _{1} x}{8} + \frac{y _{1} y}{2} = 1이고, 이 직선이 점 (0,2)를 지나므로 2y12=1\displaystyle \frac{2 y _{1}}{2} = 1에서 y1=1y _{1} = 1 타원과 y=1y = 1을 연립시키면 x=±2x = \pm 2 P(−2,1),Q(2,1)P ( - 2 , 1 ) , Q ( 2 , 1 ) ∴PQ‾\displaystyle \therefore \overline{PQ}의 길이는 4 타원의 다른 초점을 F′F'이라 하면 FQ‾=PF‾′\displaystyle \overline{FQ} = \overline{PF}'에서 PF‾+FQ‾=PF‾+PF′‾=42\displaystyle \overline{PF} + \overline{FQ} = \overline{PF} + \overline{PF'} = 4 \sqrt{2} 구하는 길이는 42+4\displaystyle 4 \sqrt{2} + 4 a2+b2=32a ^{2} + b ^{2} = 32

태그

#타원#접선#초점

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