기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 접선과 초점

문제

두 점 F(c,0){\mathrm{F}} \left( c , 0 \right), F′(−c,0)(c>0){\mathrm{F}}' \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)을 초점으로 하는 타원 x248+y24b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{48} + \frac{y ^{2}}{4 b ^{2}} = 1 위에 있는 제11사분면 위의 점 P(6,b){\mathrm{P}} \left( 6 , b \right)에서의 접선이 xx축, yy축과 만나는 점을 각각 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 하자. PF‾+PF′‾=AB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = {\overline{\mathrm{AB}}}일 때, b2×cb ^{2} \times c의 값은? [3점] ①2020②2424③2828④3232⑤3636

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④

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해설

타원 위의 점 P(6,b)(b>0){\mathrm{P}} \left( 6 , b \right) \left( b > 0 \right)에서의 접선의 방정식은 6x48+by4b2=1\displaystyle \frac{6 x}{48} + \frac{by}{4 b ^{2}} = 1, y=−b2x+4b\displaystyle y = - \frac{b}{2} x + 4 b 점 A{\mathrm{A}}의 좌표는 (8,0)\left( 8 , 0 \right), 점 B{\mathrm{B}}의 좌표는 (0,4b)\left( 0 , 4 b \right) AB‾=82+(4b)2=64+16b2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \sqrt{8 ^{2} + \left( 4 b \right) ^{2}} = \sqrt{64 + 16 b ^{2}}이고 PF‾+PF′‾=248=83\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = 2 \sqrt{48} = 8 \sqrt{3}이므로 64+16b2=19264 + 16 b ^{2} = 192, b=22\displaystyle b = 2 \sqrt{2} c2=48−4b2c ^{2} = 48 - 4 b ^{2}이므로 c=4c = 4 따라서 b2×c=(22)2×4=32\displaystyle b ^{2} \times c = \left( 2 \sqrt{2} \right) ^{2} \times 4 = 32

태그

#타원#접선

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