기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 접선 기울기 곱

문제

직선 y=2y = 2위의 점 PP에서 타원 x2+y22=1\displaystyle x ^{2} + \frac{y ^{2}}{2} = 1에 그은 두 접선의 기울기의 곱이 13\displaystyle \frac{1}{3}이다. 점 PP의 xx좌표를 kk라 할 때, k2k ^{2}의 값은? [4점]

①66②77③88④99⑤1010

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②

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해설

P(k,2){\mathrm{P}} ( k , 2 )로 두면 기울기가 mm인 접선은 y=mx±m2+2\displaystyle y = mx \pm \sqrt{m ^{2} + 2}이고 P(k,2){\mathrm{P}} ( k , 2 )를 지나므로 2=mk±m2+2\displaystyle 2 = mk \pm \sqrt{m ^{2} + 2} 2−mk=±m2+2\displaystyle 2 - mk = \pm \sqrt{m ^{2} + 2}, k2m2−4mk+4=m2+2k ^{2} m ^{2} - 4 mk + 4 = m ^{2} + 2 (k2−1)m2−4km+2=0( k ^{2} - 1 ) m ^{2} - 4 km + 2 = 0 두 근을 m1,m2m _{1} , m _{2}라 두면 m1×m2=2k2−1=13\displaystyle m _{1} \times m _{2} = \frac{2}{k ^{2} - 1} = \frac{1}{3} ∴ k2=7k ^{2} = 7

태그

#타원#접선

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