타원 접선 기울기

$P' ( c , 0 )$, 단축의 길이를 $2 b$라 하면 타원은 $\displaystyle x ^{2} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ($1 ^{2} - b ^{2} = c ^{2}$) 의 기울기 $\displaystyle m = - \frac{3}{2}$인 접선 $l$은 $\displaystyle y = - \frac{3}{2} x \pm \sqrt{\frac{9}{4} + b ^{2}}$ 그림과 같은 제 $1$사분면을 지나는 $l$위의 점 $\displaystyle P \left( c , \sqrt{1 - c ^{2}} \right)$ ($0 < c < 1$)를 대입하면 $\displaystyle \sqrt{1 - c ^{2}} = - \frac{3}{2} c + \sqrt{\frac{9}{4} + 1 - c ^{2}}$ ($\because$$1 ^{2} - c ^{2} = b ^{2}$) $\displaystyle \sqrt{1 - c ^{2}} + \frac{3}{2} c = \sqrt{\frac{13}{4} - c ^{2}}$을 양변 제곱하여 정리한 $\displaystyle 3 ( c ^{2} - 1 ) = 4 c \sqrt{1 - c ^{2}}$을 다시 양변을 제곱하여 정리하면 $25 c ^{4} - 34 c ^{2} + 9 = 0$, $( 25 c ^{2} - 9 ) ( c ^{2} - 1 ) = 0$ $\displaystyle \therefore c = \pm \frac{3}{5}$ 또는 $c = \pm 1$ $0 < c < 1$이므로 $\displaystyle c = \frac{3}{5}$, $\displaystyle P \left( \frac{3}{5} , \frac{4}{5} \right)$ $\therefore$$\displaystyle \overline{OP}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4}{3}$