타원 교점 불연속

[출제의도] 평면곡선의 접선의 성질 추론하기 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{k ^{2}} + y ^{2} = 1$은 네 점 $\left( k , 0 \right)$, $\left( - k , 0 \right)$, $\left( 0 , 1 \right)$, $\left( 0 , - 1 \right)$을 네 꼭짓점으로 하는 타원이다. 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{k ^{2}} + y ^{2} = 1$과 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 접할 때 $k$의 값을 구하자. $\displaystyle \frac{x ^{2}}{k ^{2}} + y ^{2} = 1$ 위의 점 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$($x _{1} > 0$)에서의 접선의 방정식을 구하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = - \frac{x}{k ^{2} y}$이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{x _{1}}{k ^{2} y _{1}}$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y - y _{1} = - \frac{x _{1}}{k ^{2} y _{1}} \left( x - x _{1} \right)$($y _{1} \ne 0$) $\therefore$ $\displaystyle y = - \frac{x _{1}}{k ^{2} y _{1}} x + \frac{1}{y _{1}}$ 타원이 직선 $y = - x + 2$에 접하므로 $\displaystyle \frac{x _{1}}{k ^{2} y _{1}} = 1$, $\displaystyle \frac{1}{y _{1}} = 2$ $\therefore$ $\displaystyle x _{1} = \frac{k ^{2}}{2}$, $\displaystyle y _{1} = \frac{1}{2}$ 점 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$은 $y = - x + 2$ 위의 점이므로 $k ^{2} = 3$ $\therefore$ $\displaystyle k = \sqrt{3}$

타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{k ^{2}} + y ^{2} = 1$이 점 $\left( 2 , 0 \right)$을 지날 때, $k = 2$

$\therefore$ $\displaystyle g \left( k \right) = {\begin{cases} 0 _{} ^{} & \left( 1 < k < \sqrt{3} \right) _{} ^{} \\ 2 _{} ^{} & \left( k = \sqrt{3} \right) _{} ^{} \\ 4 _{} ^{} & \left( \sqrt{3} < k \leq 2 \right) _{} ^{} \\ 2 _{} ^{} & \left( k > 2 \right) _{} ^{} \end{cases}}$ 따라서 함수 $g \left( k \right)$는 $\displaystyle k = \sqrt{3}$, $k = 2$에서 불연속이고, 불연속이 되는 모든 $k$의 값들의 제곱의 합은 $\displaystyle \left( \sqrt{3} \right) ^{2} + 2 ^{2} = 7$