타원 초점과 등차수열

[출제의도] 타원의 성질을 이해하여 점의 좌표를 구한다. 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9}$$= 1$의 두 초점의 좌표는 $\left( 4 , 0 \right)$, $\left( - 4 , 0 \right)$ 이고 장축의 길이는 $10$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'}$$= 10$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} F'}}$$= 2 \times 4$$= 8$ $\cdots \cdots$ ㉠ 세 선분 ${{\mathrm{PF}}}$, ${\mathrm{PF}'}$, ${{\mathrm{FF}'}}$의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 $\displaystyle 2 \overline{\mathrm{PF}'}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{FF}'}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}}$$\displaystyle = 2 \left( 10 - {\overline{\mathrm{PF}}} \right) - 8$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}}$$= 4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}'}$$= 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}'}} < {\overline{\mathrm{FF}'}}$이므로 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표를 $t$ 라 할 때, $0 < t < 4$ 점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{FF}'$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}}}$$\mathit{=} 4 - t$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HF}'}}$$\mathit{=} 4 + t$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PF}'}} ^{2} - {\overline{\mathrm{HF}'}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{HF}}} ^{2}$에서 $6 ^{2} - \left( 4 + t \right) ^{2}$$= 4 ^{2} - \left( 4 - t \right) ^{2}$, $t$$\displaystyle = \frac{5}{4}$ 따라서 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \frac{5}{4}$이다.