타원 초점 삼각형 코사인

$\displaystyle \mathrm{\overline{F}}' F$를 $x$축이라 하자. 그럼 문제에서 주어진 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + y ^{2} = 1$이 된다. (편의상 $\mathrm{F}$의 $x$좌표를 양수라 한다.) $\mathrm{\triangle} AF' F$의 넓이를 $S$, 점 $\mathrm{A}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{F}}' F$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 두자. $\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot \mathrm{\overline{AH}} = \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$이므로 점 $\mathrm{H}$의 $y$좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$이 된다. 주어진 방정식에 넣어 $x$좌표를 구해보면 $\displaystyle x = - \frac{2}{\sqrt{3}} ( \because x < 0 )$ $\displaystyle \mathrm{F} ( \sqrt{3} , 0 ) , F' ( - \sqrt{3} , 0 )$이므로 두 점 사이의 거리공식을 이용해 길이를 구하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}' = 1 , \overline{AF} = 3$이다. $\mathrm{\therefore} \triangle AF' F$에서 $\displaystyle \mathrm{\cos} \theta = \frac{1 ^{2} + 3 ^{2} - \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot 3} = - \frac{1}{3}$ [다른 풀이] $\displaystyle {\mathrm{\overline{AF}}} = a , {\mathrm{\overline{AF}}'} = b$라 두면 $\displaystyle a + b = 4 , \frac{1}{2} ab \sin \theta = \sqrt{2}$이다. 또, $\mathrm{\triangle} AF' F$에서 제 2$\cos$법칙을 적용하면 $12 = a ^{2} + b ^{2} - 2 ab \cos \theta$이다. $a ^{2} + b ^{2} + 2 ab = 16 \rightarrow a ^{2} + b ^{2} = 16 - 2 ab$이므로 위 식에 대입하면 $\displaystyle 2 ab ( 1 + \cos \theta ) = 4 \rightarrow ab = \frac{2}{1 + \cos \theta}$ 이 식을 위의 넓이 식에 대입하면 $\displaystyle \sin \theta = \sqrt{2} {( 1 + \cos \theta )}$ 양변을 제곱하여 $\cos \theta$에 대한 식으로 정리하면 $3 \cos ^{2} \theta + 4 \cos \theta + 1 = 0$ $\displaystyle \rightarrow \cos \theta = - 1 or - \frac{1}{3}$ $0 < \theta < \pi$이므로 $\displaystyle \cos \theta = - \frac{1}{3}$