타원 초점 현

타원의 방정식 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{20} = 1$에서 $a ^{2} = 36$, $b ^{2} = 20$이므로 $a = 6$이고 장축의 길이는 $2 a = 12$ 초점의 좌표를 ${\mathrm{F}} \left( c , 0 \right)$, ${\mathrm{F}}' \left( - c , 0 \right)$ ($c > 0$)이라 하면 $c ^{2} = a ^{2} - b ^{2} = 36 - 20 = 16$, $c = 4$ 따라서 두 초점은 ${\mathrm{F}} \left( 4 , 0 \right)$, ${\mathrm{F}}' \left( - 4 , 0 \right)$이고 두 초점 사이의 거리는 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FF}}'}} = 8$ 점 ${\mathrm{P}}$는 타원 위의 점이므로 타원의 정의에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} + {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = 2 a = 12$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} = 7$이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{PF}}'}} = 12 - 7 = 5$ 삼각형 ${\mathrm{PFF'}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PF}}} ^{2} = {\overline{{\mathrm{PF}}'}} ^{2} + {\overline{{\mathrm{FF}}'}} ^{2} - 2 {\overline{{\mathrm{PF}}'}} \times {\overline{{\mathrm{FF}}'}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{PF' F}} \right)$ $7 ^{2} = 5 ^{2} + 8 ^{2} - 2 \times 5 \times 8 \times \cos \left( \angle {\mathrm{PF' F}} \right)$ $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{PF' F}} \right) = \frac{1}{2}$ $\angle {\mathrm{QF' F}} = 180 ^\circ - \angle {\mathrm{PF' F}}$이므로 $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{QF' F}} \right) = - \cos \left( \angle {\mathrm{PF' F}} \right) = - \frac{1}{2}$ 점 ${\mathrm{Q}}$는 타원 위의 점이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} + {\overline{{\mathrm{QF}}'}} = 12$ 구하고자 하는 선분 ${\mathrm{F}}' {\mathrm{Q}}$의 길이를 $x$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} = 12 - x$ 삼각형 ${\mathrm{QFF'}}$에서 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QF}}} ^{2} = {\overline{{\mathrm{QF}}'}} ^{2} + {\overline{{\mathrm{FF}}'}} ^{2} - 2 {\overline{{\mathrm{QF}}'}} \times {\overline{{\mathrm{FF}}'}} \times \cos \left( \angle {\mathrm{QF' F}} \right)$ $\displaystyle \left( 12 - x \right) ^{2} = x ^{2} + 8 ^{2} - 2 \times x \times 8 \times \left( - \frac{1}{2} \right)$ $144 - 24 x + x ^{2} = x ^{2} + 64 + 8 x$ $80 = 32 x$, $x$$\displaystyle = \frac{5}{2}$ $\therefore$ $\displaystyle \overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{Q}} = \frac{5}{2}$