기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 초점 거리비

문제

그림과 같이 타원 x225+y216=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1의 두 초점을 각각 F,F′\mathrm{F} , F'이라 하자. 타원 위의 한 점 P\mathrm{P}와 xx축 위의 한 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 PF‾:PF‾′=QF‾:QF‾′=2:3\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} : \overline{PF}' = \overline{QF} : \overline{QF}' = 2 : 3일 때, PQ‾2\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} ^{2}의 값을 구하여라. (단, 점 Q\mathrm{Q}는 타원 외부의 점이다.) [3점]

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192

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해설

타원의 정의에 의하여 PF‾+PF‾′=10\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + \overline{PF}' = 10이고, PF‾:PF‾′=2:3\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} : \overline{PF}' = 2 : 3이므로 PF‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 4, PF‾′=6\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}' = 6이다. 또한, QF‾:QF‾′=2:3\displaystyle \mathrm{\overline{QF}} : \overline{QF}' = 2 : 3에서 F‾′F:FQ‾=1:2\displaystyle \mathrm{\overline{F}}' F : \overline{FQ} = 1 : 2이고 타원의 정의에 의하여 F‾′F=2×25−16=6\displaystyle \mathrm{\overline{F}}' F = 2 \times \sqrt{25 - 16} = 6 이므로 FQ‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}} = 12 △PF′F\mathrm{PF}' F는 이등변삼각형이므로 ∠PFF′=θ\angle \mathrm{PFF}' = \theta라 하면 cos⁡θ=26=13\displaystyle \cos \theta = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

삼각형 PFQ\mathrm{PFQ}에서 코사인정리에 의하여 PQ‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} ^{2}==PF‾2+FQ‾2−2PF‾⋅FQ‾cos⁡(π−θ)\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} ^{2} + {\overline{FQ}} ^{2} - 2 {\overline{PF}} \cdot {\overline{FQ}} \cos ( \pi - \theta ) =42+122−2⋅4⋅12⋅(−13)\displaystyle = 4 ^{2} + 12 ^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 12 \cdot \left( - \frac{1}{3} \right) =192= 192

태그

#타원#코사인법칙#각의 이등분선

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