탄젠트 그래프와 삼각형

함수 $\displaystyle y = \tan \frac{x}{k}$의 주기는 $k \pi$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 직선 $y = p$와 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 만나는 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하자.

방정식 $\displaystyle \tan \frac{x}{k} = p$를 만족하는 가장 작은 양수를 $\alpha$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} < {\overline{\mathrm{PB}}}$이므로 ㉠에 의하여 $\beta = \alpha + k \pi$ 이때 점 ${\mathrm{P}}$의 좌표는 $\left( 0 , p \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = \alpha$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \beta - \alpha = \left( \alpha + k \pi \right) - \alpha = k \pi$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 3 {\overline{\mathrm{PA}}}$에서 $k \pi = 3 \alpha$, 즉 $\displaystyle \alpha = \frac{k \pi}{3}$ 따라서 점 ${\mathrm{A}}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{k \pi}{3} , p \right)}$ 점 $\mathrm{A}$는 함수 $y = f \left( x \right)$ 위의 점이므로 $\displaystyle p = f \left( \frac{k \pi}{3} \right) = \tan \left( \frac{1}{k} \cdot \frac{k \pi}{3} \right) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ 직선 $y$$= - p$, 즉 $\displaystyle y = - \sqrt{3}$이 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 만나는 점 ${\mathrm{C}}$의 $x$좌표를 $\gamma$라 하면 $\displaystyle \tan \frac{\gamma}{k} = - \sqrt{3}$ 이때 $\displaystyle 0 \leq x < \frac{3 k \pi}{2}$에서 $\displaystyle 0 \leq \frac{x}{k} < \frac{3 \pi}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{\gamma}{k} = \frac{2 \pi}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \gamma = \frac{2 k \pi}{3}$ 따라서 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{2 k \pi}{3} , - \sqrt{3} \right)$ $y = f \left( x \right)$의 그래프가 점 $\left( k \pi , 0 \right)$을 지나므로 이 점을 $\mathrm{D}$라 하면 $\triangle \mathrm{OBC}$$= \triangle \mathrm{OBD} + \triangle \mathrm{OCD}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times k \pi \times \sqrt{3} + \frac{1}{2} \times k \pi \times \sqrt{3}$$\displaystyle = \sqrt{3} k \pi$ 즉 $\displaystyle \sqrt{3} k \pi = \frac{5 \pi}{3}$이므로 $\displaystyle k = \frac{5}{3 \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ $\therefore$ $k + p$$\displaystyle = \frac{5 \sqrt{3}}{9} + \sqrt{3}$$\displaystyle = \frac{14 \sqrt{3}}{9}$