공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

타일 개수와 인수분해

문제

자연수 $n$ 에 대하여 가로의 길이가 $n ^{3} + 7 n ^{2} + 14 n + 8$ , 세로의 길이가 $n ^{2} + 4 n + 3$ 인 직사각형 모양의 바닥이 있다. 한 변의 길이가 $n + 1$ 인 정사각형 모양의 타일로 이 바닥 전체를 겹치지 않게 빈틈없이 깔려고 한다. 이 때, 필요한 타일의 개수는? [3점]

$n ^{3} + 7 n ^{2} + 14 n + 8$ $n ^{2} + 4 n + 3$

① $( n + 2 ) ( n + 3 )$ ② $( n + 3 ) ( n + 4 )$ ③ $( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )$ ④ $( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 4 )$ ⑤ $( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 )$

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⑤

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해설

[출제의도] 다항식의 약수, 배수 이해하기 $n ^{3} + 7 n ^{2} + 14 n + 8 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 4 )$ $n ^{2} + 4 n + 3 = ( n + 1 ) ( n + 3 )$ ∴필요한 타일의 개수는 $( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 )$

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