미적분Ⅰ미분계수와 도함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

t²f(x)-x²f(t) 꼴 극한의 계산

문제

함수 f(x)=x3+1f ( x ) = x ^{3} + 1에 대하여 g(x)=lim⁡t→xt2f(x)−x2f(t)t−x\displaystyle g ( x ) = \lim\limits _{t \rightarrow x} \frac{t ^{2} f ( x ) - x ^{2} f ( t )}{t - x}라 할 때, g(1)g ( 1 )의 값은? [4점] ①−1- 1②00③11④22⑤33

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③

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해설

t2f(x)−x2f(t)=(t2−x2)f(x)−x2f(t)−f(x)t ^{2} f ( x ) - x ^{2} f ( t ) = ( t ^{2} - x ^{2} ) f ( x ) - x ^{2} {f ( t ) - f ( x )}이므로 g(x)=lim⁡t→x(t+x)f(x)−x2lim⁡t→xf(t)−f(x)t−x=2xf(x)−x2f′(x)\displaystyle g ( x ) = \lim\limits _{t \rightarrow x} ( t + x ) f ( x ) - x ^{2} \lim\limits _{t \rightarrow x} \frac{f ( t ) - f ( x )}{t - x} = 2 xf ( x ) - x ^{2} f' ( x ) f′(x)=lim⁡t→xt3−x3t−x=lim⁡t→x(t2+tx+x2)=3x2\displaystyle f' ( x ) = \lim\limits _{t \rightarrow x} \frac{t ^{3} - x ^{3}}{t - x} = \lim\limits _{t \rightarrow x} ( t ^{2} + tx + x ^{2} ) = 3 x ^{2} 이므로 g(x)=2x(x3+1)−3x4=−x4+2xg ( x ) = 2 x ( x ^{3} + 1 ) - 3 x ^{4} = - x ^{4} + 2 x 따라서 g(1)=−1+2=1g ( 1 ) = - 1 + 2 = 1이다. ③

태그

#도함수의 정의#극한의 변형#삼차함수

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